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八年级上册数学因式分解,初二因式分解10个典型题

  • 数学
  • 2023-05-13
目录
  • 初二因式分解题20道
  • 八年级上册数学因式分解思维导图
  • 八年级上册数学因式分解教学
  • 初二因式分解10个典型题
  • 初二因式分解的格式

  • 初二因式分解题20道

    因返派尘式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式。羡拿因式分解的方法有很多,基本上有这几类:

    平方差公式:a^2-b^2=(a+b)(a-b);

    完全平方公式:a^2±2ab+b^2=(a±b)^2;

    提公因式法:-am+bm+cm=-m(a-b-c);

    还有几种比较特别的

    十字相乘法:x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

    拆项、添项法:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

    配方法:x^2+2x-3

    =x^2+2x+1-4

    =(x+1)^2-4

    =(x+1+2)(x+1-2)

    =(x+3)(x-1)

    差不多啦!要有还不懂得!可以再问!(上面的部分字母可漏禅以带入数字)

    八年级上册数学因式分解思维导图

    因式分解:弄清公式,多做些题会慢慢熟悉。分解因式无非就是提公因式法、平方差法、完全平方式。

    提公因式法弄清则族庆定义,只要穗桐一个式子中有公共的因式,那就提出来公因式,再将每一项除以提出来的公因式。然孙握后再把所得的和简单化。就是乘法分配率逆运用。平方差法:只要是形式如两个式子的平方的差,就用此方法。完全平方公式:就是完全平方的逆运用。只要弄清完全平方的形式就可以掌握此方法。

    切记-----还是多练题。

    八年级上册数学因式分解教学

    解(1) 16a^4-b^4 ^表示乘方

    =(4a²)²-(b²)²

    =(4a²+b²大老)(4a²-b²)

    =(4a²+b²)(2a+b)(2a-b)

    解(2) a²(m-n)+b²滚逗升(n-m)

    =a²(m-n)-b²(m-n)

    =(m-n)(a²-b²)

    =(m-n)(a+b)(a-b)

    解(3) 3(a+1)²-75(a-4)²

    =3[(a+1)²-25(a-4)²]

    =3﹛(a+1)²-[5(a-4)]²﹜

    =3[(a+1)+5(a-4)][(a+1)-5(a-4)]

    =3(a+1+5a-20)(a+1-5a+20)

    =3(6a-19)(-4a+21)

    =-3(6a-19)(4a-21)

    解指衡(4) a^(2n+1)-16a^(2n-1)

    =[a^(2n-1)]×(a²-16)

    =[a^(2n-1)](a+4)(a-4)

    解(5)9(a-b)²-25(a+b)²

    =[3(a-b)]²-[5(a+b)]²

    =[3(a-b)+5(a+b)][(3(a-b)-5(a+b)]

    =(3a-3b+5a+5b)(3a-3b-5a-5b)

    =(8a+2b)(-2a-8b)

    = -4(4a+b)(a+4b)

    初二因式分解10个典型题

    1.a^4-4a+3

    2.(a+x)^m+1*(b+x)^n-1-(a+x)^m*(b+x)^n

    3.x^2+(a+1/a)xy+y^2

    4.9a^2-4b^2+4bc-c^2

    5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b)

    答案1.原式=a^4-a-3a+3=(a-1)(a^3+a^2+a-3)

    2.[1-(a+x)^m][(b+x)^n-1]

    3.(ax+y)(1/ax+y)

    4.9a^2-4b^2+4bc-c^2=(3a)^2-(4b^2-4bc+c^2)=(3a)^2-(2b-c)^2=(3a+2b-c)(3a-2b+c)

    5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b)

    = (c-a)(c-a)-4(ab-b^2-ac+bc)

    =c^2-2ac+a^2-4ab+4b^2+4ac-4bc

    =c^2+a^2+4b^2-4ab+2ac-4bc

    =(a-2b)^2+c^2-(2c)(a-2b)

    =(a-2b-c)^2

    1.x^2+2x-8

    2.x^2+3x-10

    3.x^2-x-20

    4.x^2+x-6

    5.2x^2+5x-3

    6.6x^2+4x-2

    7.x^2-2x-3

    8.x^2+6x+8

    9.x^2-x-12

    10.x^2-7x+10

    11.6x^2+x+2

    12.4x^2+4x-3

    解方程:(x的平方+5x-6)分之一=(x的平方+x+6)分之一

    十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。

    1、十字相乘法的方法:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一戚迟宏次项系数。

    2、十字相乘法的用处:(1)用十字相乘法来分解因式。(2)用十字相乘法来解一元二次方程。

    3、十字相乘法的优点:用十字相乘法来解题的速度比较快,能够节约时间,而且运用算量不大,不容易出错。

    4、十字相乘法的缺陷:1、有些题目用十字相乘法来解比较简单,但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。

    5、十字相乘法解题实例:

    1)、 用十字相乘法解一些简单常见的题目

    例1把m²+4m-12分解因式

    分析:本题中常数项-12可以分为-1×12,-2×6,-3×4,-4×3,-6×2,-12×1当-12分成-2×6时,才符合本题

    解:因为 1 -2

    1 ╳ 6

    所以m²+4m-12=(m-2)(m+6)

    例2把5x²+6x-8分解因式

    分析:本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8,-2×4,-4×2,-8×1。当二次项系数分为1×5,常数项分为-4×2时,才符合本题

    解: 因为 1 2

    5 ╳ -4

    所以5x²+6x-8=(x+2)(5x-4)

    例3解方程高册x²-8x+15=0

    分析:把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式,则15可分成1×15,3×5。

    解: 因为 1 -3

    1 ╳ -5

    所以原方程可变形(x-3)(x-5)=0

    所以x1=3 x2=5

    例4、解方程 6x²-5x-25=0

    分析:把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式,则6可以分为1×6,2×3,-25可以分成旦型-1×25,-5×5,-25×1。

    解: 因为 2 -5

    3 ╳ 5

    所以 原方程可变形成(2x-5)(3x+5)=0

    所以 x1=5/2 x2=-5/3

    2)、用十字相乘法解一些比较难的题目

    例5把14x²-67xy+18y²分解因式

    分析:把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y

    解: 因为 2 -9y

    7 ╳ -2y

    所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)

    例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式

    分析:在本题中,要把这个多项式整理成二次三项式的形式

    解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3

    =10x²-(27y+1)x -(28y²-25y+3) 4y -3

    7y ╳ -1

    =10x²-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)

    =[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)] 2 -(7y – 1)

    5 ╳ 4y - 3

    =(2x -7y +1)(5x +4y -3)

    说明:在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为(4y-3)(7y -1),再用十字相乘法把10x²-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)分解为[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)]

    解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3

    =(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3 2 -7y

    =[(2x -7y)+1] [(5x -4y)-3] 5 ╳ 4y

    =(2x -7y+1)(5x -4y -3) 2 x -7y 1

    5 x - 4y ╳ -3

    说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为(2x -7y)(5x +4y),再把(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3用十字相乘法分解为[(2x -7y)+1] [(5x -4y)-3].

    例7:解关于x方程:x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0

    分析:2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解

    解:x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0

    x²- 3ax +(2a²–ab - b²)=0

    x²- 3ax +(2a+b)(a-b)=0 1 -b

    2 ╳ +b

    [x-(2a+b)][ x-(a-b)]=0 1 -(2a+b)

    1 ╳ -(a-b)

    所以 x1=2a+b x2=a-b

    5-7(a+1)-6(a+1)^2

    =-[6(a+1)^2+7(a+1)-5]

    =-[2(a+1)-1][3(a+1)+5]

    =-(2a+1)(3a+8);

    -4x^3 +6x^2 -2x

    =-2x(2x^2-3x+1)

    =-2x(x-1)(2x-1);

    6(y-z)^2 +13(z-y)+6

    =6(z-y)^2+13(z-y)+6

    =[2(z-y)+3][3(z-y)+2]

    =(2z-2y+3)(3z-3y+2).

    比如...x^2+6x-7这个式子

    由于一次幂x前系数为6

    所以,我们可以想到,7-1=6

    那正好这个式子的常数项为-7

    因此我们想到将-7看成7*(-1)

    于是我们作十字相成

    x +7

    x -1

    的到(x+7)·(x-1)

    成功分解了因式

    3ab^2-9a^2b^2+6a^3b^2

    =3ab^2(1-3a+2a^2)

    =3ab^2(2a^2-3a+1)

    =3ab^2(2a-1)(a-1)

    5-7(a+1)-6(a+1)^2

    =-[6(a+1)^2+7(a+1)-5]

    =-[2(a+1)-1][3(a+1)+5]

    =-(2a+1)(3a+8);

    -4x^3 +6x^2 -2x

    =-2x(2x^2-3x+1)

    =-2x(x-1)(2x-1);

    6(y-z)^2 +13(z-y)+6

    =6(z-y)^2+13(z-y)+6

    =[2(z-y)+3][3(z-y)+2]

    =(2z-2y+3)(3z-3y+2).

    比如...x^2+6x-7这个式子

    由于一次幂x前系数为6

    所以,我们可以想到,7-1=6

    那正好这个式子的常数项为-7

    因此我们想到将-7看成7*(-1)

    于是我们作十字相成

    x +7

    x -1

    的到(x+7)·(x-1)

    成功分解了因式

    3ab^2-9a^2b^2+6a^3b^2

    =3ab^2(1-3a+2a^2)

    =3ab^2(2a^2-3a+1)

    =3ab^2(2a-1)(a-1)

    x^2+3x-40

    =x^2+3x+2.25-42.25

    =(x+1.5)^2-(6.5)^2

    =(x+8)(x-5).

    ⑹十字相乘法

    这种方法有两种情况。

    ①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

    这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和。因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .

    ②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

    如果如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d).

    图示如下:

    a b

    ×

    c d

    例如:因为

    1 -3

    ×

    7 2

    -3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,

    所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3).

    十字相乘法口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中

    ⑶分组分解法

    分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识。

    能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法。

    比如:

    ax+ay+bx+by

    =a(x+y)+b(x+y)

    =(a+b)(x+y)

    我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难。

    同样,这道题也可以这样做。

    ax+ay+bx+by

    =x(a+b)+y(a+b)

    =(a+b)(x+y)

    几道例题:

    1. 5ax+5bx+3ay+3by

    解法:=5x(a+b)+3y(a+b)

    =(5x+3y)(a+b)

    说明:系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出。

    2. x3-x2+x-1

    解法:=(x3-x2)+(x-1)

    =x2(x-1)+(x-1)

    =(x-1)(x2+1)

    利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决。

    3. x2-x-y2-y

    解法:=(x2-y2)-(x+y)

    =(x+y)(x-y)-(x+y)

    =(x+y)(x-y+1)

    利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决。

    758²—258² =(758+258)(758-258)=1016*500=508000

    还有,

    1.若(2x)n−81 = (4x2+9)(2x+3)(2x−3),那么n的值是()

    A.2 B. 4 C.6D.8

    2.若9x2−12xy+m是两数和的平方式,那么m的值是()

    A.2y2 B.4y 2 C.±4y2D.±16y2

    3.把多项式a4− 2a2b2+b4因式分解的结果为()

    A.a2(a2−2b2)+b4 B.(a2−b2)2

    C.(a−b)4D.(a+b)2(a−b)2

    4.把(a+b)2−4(a2−b2)+4(a−b)2分解因式为()

    A.( 3a−b)2B.(3b+a)2

    C.(3b−a)2 D.( 3a+b)2

    5.计算:(−)2001+(−)2000的结果为()

    A.(−)2003 B.−(−)2001

    C. D.−

    6.已知x,y为任意有理数,记M = x2+y2,N = 2xy,则M与N的大小关系为()

    A.M>NB.M≥NC.M≤ND.不能确定

    7.对于任何整数m,多项式( 4m+5)2−9都能()

    A.被8整除 B.被m整除

    C.被(m−1)整除 D.被(2n−1)整除

    8.将−3x2n−6xn分解因式,结果是()

    A.−3xn(xn+2) B.−3(x2n+2xn)

    C.−3xn(x2+2) D.3(−x2n−2xn)

    9.下列变形中,是正确的因式分解的是()

    A. 0.09m2−n2 = ( 0.03m+)( 0.03m−)

    B.x2−10 = x2−9−1 = (x+3)(x−3)−1

    C.x4−x2 = (x2+x)(x2−x)

    D.(x+a)2−(x−a)2 = 4ax

    10.多项式(x+y−z)(x−y+z)−(y+z−x)(z−x−y)的公因式是()

    A.x+y−zB.x−y+zC.y+z−xD.不存在

    11.已知x为任意有理数,则多项式x−1−x2的值()

    A.一定为负数

    B.不可能为正数

    C.一定为正数

    D.可能为正数或负数或零

    二、解答题:

    分解因式:

    (1)(ab+b)2−(a+b)2

    (2)(a2−x2)2−4ax(x−a)2

    (3)7xn+1−14xn+7xn−1(n为不小于1的整数)

    答案:

    一、选择题:

    1.B 说明:右边进行整式乘法后得16x4−81 = (2x)4−81,所以n应为4,答案为B.

    2.B 说明:因为9x2−12xy+m是两数和的平方式,所以可设9x2−12xy+m = (ax+by)2,则有9x2−12xy+m = a2x2+2abxy+b2y2,即a2 = 9,2ab = −12,b2y2 = m;得到a = 3,b = −2;或a = −3,b = 2;此时b2 = 4,因此,m = b2y2 = 4y2,答案为B.

    3.D说明:先运用完全平方公式,a4− 2a2b2+b4 = (a2−b2)2,再运用两数和的平方公式,两数分别是a2、−b2,则有(a2−b2)2 = (a+b)2(a−b)2,在这里,注意因式分解要分解到不能分解为止;答案为D.

    4.C 说明:(a+b)2−4(a2−b2)+4(a−b)2 = (a+b)2−2(a+b)[2(a−b)]+[2(a−b)]2 = [a+b−2(a−b)]2 = (3b−a)2;所以答案为C.

    5.B 说明:(−)2001+(−)2000 = (−)2000[(−)+1] = ()2000 •= ()2001 = −(−)2001,所以答案为B.

    6.B 说明:因为M−N = x2+y2−2xy = (x−y)2≥0,所以M≥N.

    7.A 说明:( 4m+5)2−9 = ( 4m+5+3)( 4m+5−3) = ( 4m+8)( 4m+2) = 8(m+2)( 2m+1).

    8.A

    9.D说明:选项A,0.09 = 0.32,则 0.09m2−n2 = ( 0.3m+n)( 0.3m−n),所以A错;选项B的右边不是乘积的形式;选项C右边(x2+x)(x2−x)可继续分解为x2(x+1)(x−1);所以答案为D.

    10.A 说明:本题的关键是符号的变化:z−x−y = −(x+y−z),而x−y+z≠y+z−x,同时x−y+z≠−(y+z−x),所以公因式为x+y−z.

    11.B 说明:x−1−x2 = −(1−x+x2) = −(1−x)2≤0,即多项式x−1−x2的值为非正数,正确答案应该是B.

    二、解答题:

    (1) 答案:a(b−1)(ab+2b+a)

    说明:(ab+b)2−(a+b)2 = (ab+b+a+b)(ab+b−a−b) = (ab+2b+a)(ab−a) = a(b−1)(ab+2b+a).

    (2) 答案:(x−a)4

    说明:(a2−x2)2−4ax(x−a)2

    = [(a+x)(a−x)]2−4ax(x−a)2

    = (a+x)2(a−x)2−4ax(x−a)2

    = (x−a)2[(a+x)2−4ax]

    = (x−a)2(a2+2ax+x2−4ax)

    = (x−a)2(x−a)2 = (x−a)4.

    (3) 答案:7xn−1(x−1)2

    说明:原式 = 7xn−1 •x2−7xn−1 •2x+7xn−1 = 7xn−1(x2−2x+1) = 7xn−1(x−1)2.

    初二因式分解的格式

    因式分解定义:把一个多项式化为乘积形式的变形成为把这个多项式因式分解。

    公因式定义:一个多项式的各项都含有的慎宏单项式,称为这个多项式的公因式。

    分解因式的方法:

    1、提公因式法。

    一般的,茄孝吵如果颤侍一个多项式的各项都含有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。用字母表示为ma+mb+mc=m(a+b+c)

    2、公式法分解因式。

    1)、平方差公式分解因式

    两个数的平方差等于这两个数的积。用字母表示为a2-b2=(a+b)(a-b)

    2)、完全平方公式分解因式

    两个数的平方和加上(或减去)这两个数积的两倍等于这两个数的平方。用字母表示为a2±2ab+b2

    总的知识点就是这些咯。

    累死我了……!

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