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九年级上册数学笔记,九年级上册语文第三单元笔记

  • 数学
  • 2024-07-24

九年级上册数学笔记?初三数学上册知识点总结归纳 1、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。零的绝对值时它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。那么,九年级上册数学笔记?一起来了解一下吧。

九年级上册数学笔记人教版

有定理,和证明

数学定理

三角形三条边的关系

定理:三角形两边的和大于第三边

推论:三角形两边的差小于第三边

三角形内角和

三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

推论1 直角三角形的两个锐角互余

推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

推论3 三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角

角的平分线

性质定理 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

几何语言:

∵OC是∠AOB的角平分线(或者∠AOC=∠BOC)

PE⊥OA,PF⊥OB

点P在OC上

∴PE=PF(角平分线性质定理)

判定定理 到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上

几何语言:

∵PE⊥OA,PF⊥OB

PE=PF

∴点P在∠AOB的角平分线上(角平分线判定定理)

等腰三角形的性质

等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等

几何语言:

∵AB=AC

∴∠B=∠C(等边对等角)

推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

几何语言:

(1)∵AB=AC,BD=DC

∴∠1=∠2,AD⊥BC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

(2)∵AB=AC,∠1=∠2

∴AD⊥BC,BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

(3)∵AB=AC,AD⊥BC

∴∠1=∠2,BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

推论2 等边三角形的各角都相等,并且每一个角等于60°

几何语言:

∵AB=AC=BC

∴∠A=∠B=∠C=60°(等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°)

等腰三角形的判定

判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等

几何语言:

∵∠B=∠C

∴AB=AC(等角对等边)

推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

几何语言:

∵∠A=∠B=∠C

∴AB=AC=BC(三个角都相等的三角形是等边三角形)

推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

几何语言:

∵AB=AC,∠A=60°(∠B=60°或者∠C=60°)

∴AB=AC=BC(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)

推论3 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半

几何语言:

∵∠C=90°,∠B=30°

∴BC= AB或者AB=2BC(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半)

线段的垂直平分线

定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

几何语言:

∵MN⊥AB于C,AB=BC,(MN垂直平分AB)

点P为MN上任一点

∴PA=PB(线段垂直平分线性质)

逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上

几何语言:

∵PA=PB

∴点P在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线判定)

轴对称和轴对称图形

定理1 关于某条之间对称的两个图形是全等形

定理2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

定理3 两个图形关于某直线对称,若它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上

逆定理 若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那这两个图形关于这条直线对称

勾股定理

勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和,等于斜边c的平方,即

a2 + b2 = c2

勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系,那么这个三角形是直角三角形

四边形

定理 任意四边形的内角和等于360°

多边形内角和

定理 多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n - 2)·180°

推论 任意多边形的外角和等于360°

平行四边形及其性质

性质定理1 平行四边形的对角相等

性质定理2 平行四边形的对边相等

推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

几何语言:

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD‖BC,AB‖CD(平行四边形的对角相等)

∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对边相等)

AO=CO,BO=DO(平行四边形的对角线互相平分)

平行四边形的判定

判定定理1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形

几何语言:

∵AD‖BC,AB‖CD

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)

判定定理2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

几何语言:

∵∠A=∠C,∠B=∠D

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)

判定定理3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

几何语言:

∵AD=BC,AB=CD

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)

判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形

几何语言:

∵AO=CO,BO=DO

∴四边形ABCD是平行四边形

(对角线互相平分的四边形是平行四边形)

判定定理5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

几何语言:

∵AD‖BC,AD=BC

∴四边形ABCD是平行四边形

(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

矩形

性质定理1 矩形的四个角都是直角

性质定理2 矩形的对角线相等

几何语言:

∵四边形ABCD是矩形

∴AC=BD(矩形的对角线相等)

∠A=∠B=∠C=∠D=90°(矩形的四个角都是直角)

推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

几何语言:

∵△ABC为直角三角形,AO=OC

∴BO= AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

几何语言:

∵∠A=∠B=∠C=90°

∴四边形ABCD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)

判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

几何语言:

∵AC=BD

∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)

菱形

性质定理1 菱形的四条边都相等

性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角

几何语言:

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=BC=CD=AD(菱形的四条边都相等)

AC⊥BD,AC平分∠DAB和∠DCB,BD平分∠ABC和∠ADC

(菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角)

判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

几何语言:

∵AB=BC=CD=AD

∴四边形ABCD是菱形(四边都相等的四边形是菱形)

判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

几何语言:

∵AC⊥BD,AO=CO,BO=DO

∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)

正方形

性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等

性质定理2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角

中心对称和中心对称图形

定理1 关于中心对称的两个图形是全等形

定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分

逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称

梯形

等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

几何语言:

∵四边形ABCD是等腰梯形

∴∠A=∠B,∠C=∠D(等腰梯形在同一底上的两个角相等)

等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

几何语言:

∵∠A=∠B,∠C=∠D

∴四边形ABCD是等腰梯形(在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形)

三角形、梯形中位线

三角形中位线定理 三角形的中位线平行与第三边,并且等于它的一半

几何语言:

∵EF是三角形的中位线

∴EF= AB(三角形中位线定理)

梯形中位线定理 梯形的中位线平行与两底,并且等于两底和的一半

几何语言:

∵EF是梯形的中位线

∴EF= (AB+CD)(梯形中位线定理)

比例线段

1、 比例的基本性质

如果a∶b=c∶d,那么ad=bc

2、 合比性质

3、 等比性质

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例

几何语言:

∵l‖p‖a

(三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例)

推论 平行与三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例

定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行与三角形的第三边

垂直于弦的直径

垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧

几何语言:

∵OC⊥AB,OC过圆心

(垂径定理)

推论1

(1) 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

几何语言:

∵OC⊥AB,AC=BC,AB不是直径

(平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧)

(2) 弦的垂直平分线过圆心,并且平分弦所对的两条弧

几何语言:

∵AC=BC,OC过圆心

(弦的垂直平分线过圆心,并且平分弦所对的两条弧)

(3) 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

几何语言:

(平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧)

推论2 圆的两条平分弦所夹的弧相等

几何语言:∵AB‖CD

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距也相等

推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等

圆周角

定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等

推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直角

推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

圆的内接四边形

定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角

几何语言:

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形

∴∠A+∠C=180°,∠B+∠ADB=180°,∠B=∠ADE

切线的判定和性质

切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

几何语言:∵l ⊥OA,点A在⊙O上

∴直线l是⊙O的切线(切线判定定理)

切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点半径

几何语言:∵OA是⊙O的半径,直线l切⊙O于点A

∴l ⊥OA(切线性质定理)

推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点

推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线长定理

定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

几何语言:∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点

∴PA=PC,∠APO=∠CPO(切线长定理)

弦切角

弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

几何语言:∵∠BCN所夹的是 ,∠A所对的是

∴∠BCN=∠A

推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等

几何语言:∵∠BCN所夹的是 ,∠ACM所对的是 , =

∴∠BCN=∠ACM

和圆有关的比例线段

相交弦定理:圆内的两条相交弦,被焦点分成的两条线段长的积相等

几何语言:∵弦AB、CD交于点P

∴PA·PB=PC·PD(相交弦定理)

推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

几何语言:∵AB是直径,CD⊥AB于点P

∴PC2=PA·PB(相交弦定理推论)

切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项

几何语言:∵PT切⊙O于点T,PBA是⊙O的割线

∴PT2=PA·PB(切割线定理)

推论 从圆外一点因圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等

几何语言:∵PBA、PDC是⊙O的割线

∴PT2=PA·PB(切割线定理推论)

九年级上册数学书全部笔记

初三数学

第一章:图形与证明(二) :等腰三角形、直角三角形...的判定

第二章:数据的离散程度 :极差、方差与标准差...

第三章:二次根式

第四章:一元二次方程

第五章:中心对称图形 :圆...

{一、分式

1、 同底数幂相除,底数不变,指数相减。am an=am-n(a 0)

2、 两个单项式相除,只要将系数及同底数幂分别相除。

3、 形如 (A、B是整式,且B中含有字母,B 0)的式子叫做分式。 =0(A=0,B 0)。

4、 分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。约分后,分子与分母不再有公因式的分式称为最简分式。分式运算的结果一定要是最简。

5、 最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的积。

6、 在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含未知数的整式,并约去分母,有时可能产生不适合原方程的解(或根),这种根称为增根。因此,在解分式方程时必须进行检验。

7、 任何不等于零的数的零次幂都等于1。a0=1(a 0)

8、 任何不等于零的数的-n(n为正整数)次幂,等于这个数的n次幂的倒数。a-n=( )n= (a

9、 用科学记数法表示一些绝对值较小的数,即将它们表示成a 的形式,其中n是正整数,1≤ <10。

九年级数学笔记整理

探索几何世界的奥秘,让我们一起走进数学的几何篇章,这里汇聚了三角形的不等式、面积公式,以及那些深藏在角平分线和外接圆中的智慧。

命题一: 通过严密的逻辑,我们发现当满足特定条件时,不仅有 和 的推导,而且对于任意三角形,恒有 。这揭示了三角形间隐藏的数学关系,令我们得以构建出这样的关系式:

关系式一

命题二: 类似的,基于条件,我们推导出 和 的结论,进一步指出对于任意三角形,总有 。这为我们解锁了另一个几何定理,公式如下:

关系式二

在三角形的面积计算中,海伦公式如同一条数学的航海线。以顶点 、 、 为起点,对应的边长分别为 、 、 ,方法一通过垂线和勾股定理,得出了这样的面积公式:

面积公式一

当半周长的妙用显现,公式简化为:

简化公式一

方法二: 余弦定理的应用,使我们看到另一扇计算之窗,当 时,公式呈现为:

简化公式二

内心的存在,让我们触及了三角形的核心。当内心与角平分线相遇,我们通过一系列推导,得出了三角形面积的另一种表述:

内心公式

备考小贴士: 一个几何直观的证明方法,让繁琐的计算化繁为简,揭示了三角形面积的美妙统一:

直观证明

更深入的向量与复数理论,将几何与代数完美融合,揭示了三角形面积的秘密:

向量与复数公式

莫雷角三分线定理: 在一个引人入胜的证明中,我们遇见了等边三角形的秘密。

九年级上册语文第三单元笔记

1.二次函数的定义:一般地,形如y = ax2 + bx + c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.(1) 二次函数的结构特征:①等号的左边是函数y,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.②a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.根据二次函数的定义判断是否是二次函数,要抓住二次项系数不为零这个关键.例1、下列函数中,不是二次函数的是 ()(A) ;(B) ;(C) ; (D) 2.二次函数的特殊形式:(1)y = ax2 (2)y = ax2 + bx(3)y = ax2 + c二次函数含有三个系数a、b、c,一般地给出x、y的三组对应值就可以确定a、b、c的数值。3.根据二次函数定义确定字母的值例2、如果函数 是二次函数,求常数m的值。例3、已知二次函数 ,(1)当m为何值时,此函数为二次函数;(2)当m为何值时,此函数为一次函数.4.确定实际问题中的二次函数表达式例4、一个长方形的周长是50cm,一边长是xcm,这个长方形的面积为ycm2.(1)试写出y与x的函数解析式;(2)y是x的二次函数吗?为什么? 例5、某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现:这种商品的日销量m(件)与每件商品的销售价x(元)满足一次函数关系m = 162 – 3x.试写出商场销售这种商品的日销售利润y(元)与每件商品的销售价x(元)之间的函数关系,并判断它是二次函数吗? 1.二次函数的一般式是____________________________,它的定义域是_______________;利用配方法可以把二次函数的一般式改写成顶点式为____________________________。

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有定理,和证明

数学定理

三角形三条边的关系

定理:三角形两边的和大于第三边

推论:三角形两边的差小于第三边

三角形内角和

三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

推论1 直角三角形的两个锐角互余

推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

推论3 三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角

角的平分线

性质定理 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

几何语言:

∵OC是∠AOB的角平分线(或者∠AOC=∠BOC)

PE⊥OA,PF⊥OB

点P在OC上

∴PE=PF(角平分线性质定理)

判定定理 到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上

几何语言:

∵PE⊥OA,PF⊥OB

PE=PF

∴点P在∠AOB的角平分线上(角平分线判定定理)

等腰三角形的性质

等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等

几何语言:

∵AB=AC

∴∠B=∠C(等边对等角)

推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

几何语言:

(1)∵AB=AC,BD=DC

∴∠1=∠2,AD⊥BC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

(2)∵AB=AC,∠1=∠2

∴AD⊥BC,BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

(3)∵AB=AC,AD⊥BC

∴∠1=∠2,BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

推论2 等边三角形的各角都相等,并且每一个角等于60°

几何语言:

∵AB=AC=BC

∴∠A=∠B=∠C=60°(等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°)

等腰三角形的判定

判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等

几何语言:

∵∠B=∠C

∴AB=AC(等角对等边)

推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

几何语言:

∵∠A=∠B=∠C

∴AB=AC=BC(三个角都相等的三角形是等边三角形)

推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

几何语言:

∵AB=AC,∠A=60°(∠B=60°或者∠C=60°)

∴AB=AC=BC(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)

推论3 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半

几何语言:

∵∠C=90°,∠B=30°

∴BC= AB或者AB=2BC(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半)

线段的垂直平分线

定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

几何语言:

∵MN⊥AB于C,AB=BC,(MN垂直平分AB)

点P为MN上任一点

∴PA=PB(线段垂直平分线性质)

逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上

几何语言:

∵PA=PB

∴点P在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线判定)

轴对称和轴对称图形

定理1 关于某条之间对称的两个图形是全等形

定理2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

定理3 两个图形关于某直线对称,若它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上

逆定理 若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那这两个图形关于这条直线对称

勾股定理

勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和,等于斜边c的平方,即

a2 + b2 = c2

勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系,那么这个三角形是直角三角形

四边形

定理 任意四边形的内角和等于360°

多边形内角和

定理 多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n - 2)·180°

推论 任意多边形的外角和等于360°

平行四边形及其性质

性质定理1 平行四边形的对角相等

性质定理2 平行四边形的对边相等

推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

几何语言:

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD‖BC,AB‖CD(平行四边形的对角相等)

∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对边相等)

AO=CO,BO=DO(平行四边形的对角线互相平分)

平行四边形的判定

判定定理1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形

几何语言:

∵AD‖BC,AB‖CD

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)

判定定理2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

几何语言:

∵∠A=∠C,∠B=∠D

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)

判定定理3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

几何语言:

∵AD=BC,AB=CD

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)

判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形

几何语言:

∵AO=CO,BO=DO

∴四边形ABCD是平行四边形

(对角线互相平分的四边形是平行四边形)

判定定理5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

几何语言:

∵AD‖BC,AD=BC

∴四边形ABCD是平行四边形

(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

矩形

性质定理1 矩形的四个角都是直角

性质定理2 矩形的对角线相等

几何语言:

∵四边形ABCD是矩形

∴AC=BD(矩形的对角线相等)

∠A=∠B=∠C=∠D=90°(矩形的四个角都是直角)

推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

几何语言:

∵△ABC为直角三角形,AO=OC

∴BO= AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

几何语言:

∵∠A=∠B=∠C=90°

∴四边形ABCD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)

判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

几何语言:

∵AC=BD

∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)

菱形

性质定理1 菱形的四条边都相等

性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角

几何语言:

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=BC=CD=AD(菱形的四条边都相等)

AC⊥BD,AC平分∠DAB和∠DCB,BD平分∠ABC和∠ADC

(菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角)

判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

几何语言:

∵AB=BC=CD=AD

∴四边形ABCD是菱形(四边都相等的四边形是菱形)

判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

几何语言:

∵AC⊥BD,AO=CO,BO=DO

∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)

正方形

性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等

性质定理2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角

中心对称和中心对称图形

定理1 关于中心对称的两个图形是全等形

定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分

逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称

梯形

等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

几何语言:

∵四边形ABCD是等腰梯形

∴∠A=∠B,∠C=∠D(等腰梯形在同一底上的两个角相等)

等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

几何语言:

∵∠A=∠B,∠C=∠D

∴四边形ABCD是等腰梯形(在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形)

三角形、梯形中位线

三角形中位线定理 三角形的中位线平行与第三边,并且等于它的一半

几何语言:

∵EF是三角形的中位线

∴EF= AB(三角形中位线定理)

梯形中位线定理 梯形的中位线平行与两底,并且等于两底和的一半

几何语言:

∵EF是梯形的中位线

∴EF= (AB+CD)(梯形中位线定理)

比例线段

1、 比例的基本性质

如果a∶b=c∶d,那么ad=bc

2、 合比性质

3、 等比性质

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例

几何语言:

∵l‖p‖a

(三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例)

推论 平行与三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例

定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行与三角形的第三边

垂直于弦的直径

垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧

几何语言:

∵OC⊥AB,OC过圆心

(垂径定理)

推论1

(1) 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

几何语言:

∵OC⊥AB,AC=BC,AB不是直径

(平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧)

(2) 弦的垂直平分线过圆心,并且平分弦所对的两条弧

几何语言:

∵AC=BC,OC过圆心

(弦的垂直平分线过圆心,并且平分弦所对的两条弧)

(3) 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

几何语言:

(平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧)

推论2 圆的两条平分弦所夹的弧相等

几何语言:∵AB‖CD

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距也相等

推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等

圆周角

定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等

推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直角

推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

圆的内接四边形

定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角

几何语言:

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形

∴∠A+∠C=180°,∠B+∠ADB=180°,∠B=∠ADE

切线的判定和性质

切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

几何语言:∵l ⊥OA,点A在⊙O上

∴直线l是⊙O的切线(切线判定定理)

切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点半径

几何语言:∵OA是⊙O的半径,直线l切⊙O于点A

∴l ⊥OA(切线性质定理)

推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点

推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线长定理

定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

几何语言:∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点

∴PA=PC,∠APO=∠CPO(切线长定理)

弦切角

弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

几何语言:∵∠BCN所夹的是 ,∠A所对的是

∴∠BCN=∠A

推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等

几何语言:∵∠BCN所夹的是 ,∠ACM所对的是 , =

∴∠BCN=∠ACM

和圆有关的比例线段

相交弦定理:圆内的两条相交弦,被焦点分成的两条线段长的积相等

几何语言:∵弦AB、CD交于点P

∴PA·PB=PC·PD(相交弦定理)

推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

几何语言:∵AB是直径,CD⊥AB于点P

∴PC2=PA·PB(相交弦定理推论)

切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项

几何语言:∵PT切⊙O于点T,PBA是⊙O的割线

∴PT2=PA·PB(切割线定理)

推论 从圆外一点因圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等

几何语言:∵PBA、PDC是⊙O的割线

∴PT2=PA·PB(切割线定理推论

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以上就是九年级上册数学笔记的全部内容,等式基本性质1:在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,所得的结果仍是等式. 基本性质2:在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0),所得的结果仍是等式.二、不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变. (注:移项要变号,但不等号不变。

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