目录高中常用构造函数公式口诀 导数问题中的14种构造函数的方法 数学构造函数的几种形式 构造函数法解决不等式问题 高中构造函数常见模板
构造法属于非常规思维，它适用于对某些常规方法不易解决的问题，既巧妙，又简洁。其主要思想是依据题设条件特点，以所求结论为方向，在思维中形成新的数学形式，使得问题在这种形式下，拥有简捷解决的方法。由于它主要表现出思维的试探性，所以是竞赛中重要的解题方法之一。
1、构造方程法
构造方程通常是构造一些特殊的方程，如一元二次方程等。因为一元二次方程本身具有一些可扩展的内容，如方程有实根则判别式大于零或等于零；其根与系数之间具有非常特殊的关系—韦达定理；方程在区间上有实根可与函数和图象产生对应关系等等。通过构造方程，可以将一些“相等关系”转化为“不等关系”，或者将“不等关系”转化为“相等关系”。
例1为实数，且满足 则求 的范围。
分析： 由已知条件得 ，所以根据韦达定理可构造一元二次方程
此方程有两实根，其判别式不小于零，即有
由此可得的取值范围是[1,9]。
这里需要说明的是：在具体的问题中要构造什么方程，要看具体问题的明枯需求而定，但凡是涉及“两数之和或两数之积”，应该想到可通过韦达定理来构造方程，凡涉及与判别式结构类似的关系式也应该想到可以构造相应的方程。
例2已知 是正 的外接圆 （劣弧）上任一点，求证：
例3 确定方程组的所有整数解,方程组为
分析：此题是较高次的方程组，难度很大，但由 可求出 ，从而可用与方程有关的知识，问题就比较容易解决。
2、构造函数法
函数是数学中最重要的思想，在初等数学中，联系着数、式、不等式、数列、曲线等方面的问题，构造函数就是从问题本身的特点出发构造一个新的函数，再利用函数性质去求得问题的解。
例4 已知 是满足的实数，试确定 的最大值。
3、构造图形法
例6求函数 的值域。
分析：此关系反映了过两点 的直线的斜率，而 点是单位圆 上的点，所以考虑当 在单位圆上运动时直线 的斜率的取值范围，易得斜率范围为
需要注意的是：要构造图形解题首先考虑一些基本代数式与几何图形的对应关系，如方程与直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线及一些基本图形的性质的代数表达式，如三角函数的正弦、余弦定理等。
4、构造模型
将问题中的条件，数量关系等，在已构造的模型上实现并得到一种解释，从而实现问题的证明，具体解题过程中有些模型能从问题本身的条件中获得，而有些模型构造精巧。
例7证以顶点在单位圆上的锐角三角形的三角的余弦之和小于该三角形周长之半。
5、构造不等式法
在一些问题特别是函数的最值问题中，其条件或函数关整理系式的构成，往往隐含着一梁圆些限制条件，如方程有解时 ，一些基本不等式 等，充分利用它们可构成不等式，使问题得到解决。
（全国高中数学联赛）
6、构造距离法
例10设 ，求 的最小值。
分析： 可变形为 。其中 为点 与点 之间距离的平方，而此两点分别在直线 及 上，根据两直线位置情况，不难知道两直线上的点之间最短距离为 。从而可知 的最小值为6。
7、构造对应关系
所谓构造对应关系即将一件事与另一件事相对应，在处理一些计数问题时常用这种方法，由于有时直接满足某些要求的元素的个数可能比较困难，但考虑与之相对应的另一类元素就可能较容易。
例11试问方程 有多少组正整数解。
分析： 可构造这样一个对应关系：将2002个完全相同的球排成一排，则它们有2001个间隔，将1000块板插入这2001个间隔中（每间隔只能插进一个板），则显然每组插法与原方程的每一组解产生一一对应关系，而此时2001个间隔中人选1000个间隔分别插入一块板，显然共有 种不同的插法，所以原方程共有 个不同的整数解。
构造法的应用，对于考试及竞赛中灵活应试，以及培养能力、启迪思橡槐塌维具有十分重要的意义。上面仅仅是常见的集中构造法，还有很多构造类型，如构造复数、构造等价命题、构造数列、构造恒等式、构造结论、构造复数等。在数学构造中，针对不同的题型，巧妙的利用题中条件或结论使问题得到解决。这种独到的方法往往在解题过程中使解题思路开阔很多，更减少了解题过程中不必要的麻烦。但同时，构造法是一种较灵活的方法，不同的题型要用不同的方法来解决。总之，构造法是一种灵活性很强的数学解题方法，它要求解题者具备扎实的基础知识，敏锐的观察能力及丰富的想象力，这样才能在做题过程中起到事半功倍的效果。
构造函数法在解题中的应用
摘要：函数思想是数学思想的有机组成部分,它在数学解题中的应用越来越广泛。本文就构造函数这一方法在不等式、数列、方程有解及恒成立问题等方面的应用举例说明。
关键词：函数思想；构造函数；不等式；方程；应用
函数思想，指运用函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题并解决问题。因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。
函数思想在数学应用中占有重要的地位，应用范围很广。函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、三角函数、不等式、数列、解析几何等问题也常常可以通过构造函数来求解。
根据需要，构造辅助函数是高等数学中一种常用的方法，这种方法也已渗透到中学数学中。首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径。其次数量关系是数学中的一种基本关系。现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性。因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。下面我们举例说明构造函数的方法在解题中的应用。
一、构造函数解决有关不等式的问题
有些不等式证明和比较大小的问题，如能根据其结构特征，构造相应的函数，从函数的单调孙卜性或有界性局携等角度入手，去分析推理，证明过程就会简洁又明快。
例1：若，则 的大小关系是。
分析：式中各项的结构相同，只是字母不同，故可构造函数 进行判断。
解：构造函数 ，易证函数在其区间 是单调递增函数。
例2(2008年山东理)：已知函数 其中为常数。当 时，证明：对任意的正整数 ，当 时，有
证法一：因为 ，所以 。
当 为偶数时，令 则 （ ）所以当 时， 单调递增。又 ，因此 恒成立，所以 成立。当 为奇数时，要证 ，由于 ，所以只需证 ，令 ，则 （ ），所以，当 时， 单调递增，又 ，所以当 时，恒有 ，即 命题成立。
综上所述，结论成立。
证法二：当 时， ，当 时，对任意的正整数 ，恒有 ，故只需证明 。令则 ，当 时， ，故 在 上单调递增，因此当 时， ，即 成立。故当 时，有 ，即 。
试题分析：第二问需要对构造的'新函数 进行“常规处理”，即先证单调性，然后求最值，最后作出判断。
评注：函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理，使之成为一个，在具体运用时自如流畅，既要具有一定的思维定向，也要谨防盲目套用。函数与不等式之间如同一对孪生兄弟，通过对不等式结构特征的分析，来构造函数模型，常常可以收到出奇制胜的效果。此类问题对转化能力要求很高，不能有效转化是解题难以突破的主要原因，要善于构造函数证明不等式，从而体现导数的性。
二、构造函数解决数列中的有关问题
数列的实质是函数,用函数思想解数列问题能够加深对数列概念及公式的理解,加强知识点间的联系.
例3：在等差数列中，已知 Sp = q , Sq = p ( p ≠q) ,求 Sp+q 的值。
略解：因为是n的一次函数，点( n ,) 共线，所以点 （p , ） , ( q, ) ,( p + q ,)共线， 则有化简即得 Sp+q= －( p + q ) 。
例4：等差数列{ }的首项 ,前 项的和为 ,若 ,问 为何值时 最大?
简析:运用数列中桐凯伏的通项公式的特点,把数列问题转化为函数问题解决。
解:依题意,设此函数是以 为自变量的二次函数。
故二次函数 的图象开口向下当 时, 最大,但 中,当 为偶数时,时,最大当 为奇数时,时,最大。
三、构造函数解决方程有解、无解及若干个解的问题
方程有解、无解问题可以用“变量分离法”转化为求函数的值域，或直接构造函数。
例5(2010上海文科数学)：若 是方程式 的解，则 属于区间()
A. （0，1）B.（1，1.25）C.（1.25，1.75）D.（1.75，2）
解析：
知 属于区间（1.75，2）
例6（2010天津文科数学）：设函数f(x)=x- ,对任意 恒成立，则实数m的取值范围是________。答案：m<-1解析：本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。
模型1，若f'（x）的系数为x，且同时出现与f（x）的和或差，考虑构造x与f（x）的积或者商。
模型2，若出现f（x）与f'（x）且系数相同时，考虑构造e与f（x）的积枝颤或者商。
模型3，若出现f（x）与f'（x）系数分别是常数和x时，考虑构造x"与f（x）的积或者商。
模型4，若出现f（x）与f'（x）且系数为sinx与COSx时，考虑构造sinx与f（x）的积或者商，或者cosx与f（x）的积或者商。
构造辅助函数是谨搭拆求解导祥枣数问题的常用策略，而构造函数的方法技巧较为众多，需要结合具体问题合理选用。解题时所构函数的形式不同，获得的解题效果也不相同，文章对导数问题加以剖析，结合实例简要探讨作差构造、拆分构造、换元构造和特征构造四种构造技巧，并提出相应的教学建议。
用构造函数解导数问题：
近几年高考数学压轴题，多以导数为来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．
函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学中两大思想，而构造函数的解题思路恰好这两种思想的统一体现，尤其是反映在导数题型中。
构造函数证明拉格朗日定理如下：
拉格朗日中值定理是考研数学复习的重点，经常出现在证明题中，是考研数学的重点和难点。2009年的考研数学(包括数一、数二、数三)真题中的一道证明题中的第一问甚至要求证明该定理。
下面文都考研数学教研老师结合该真题，给出该定理的三种证明思路，希望能帮助同学们掌握和利用该定理。
首先，我们一起看一下该定理：
(拉格朗日中值定理)
然后，我们一弊御起学习三种具体的证明方法：
1、原函数构造法
下面给出具体的证明过滑则程：
2、作差构造函数法
该法也主要利用罗尔定理证明，只是函数构造方法与1有所不同，下面给出具体的证明过程：
2018考研数学:拉格租让岩朗日中值定理的三种证明方法
3、行列式法
考研数学复习
上述三种方法都是基于罗尔定理证明的，主要是构造出一个满足罗尔定理的函数。拉格朗日中值定理的证明方法，同学们务必要牢牢掌握至少一种。另外，同学们在做与拉格朗日中值定理相关的证明题时，可以借鉴上述三种方法来构造函数。
从拉格朗日中值定理的证明方法中，我们也会发现数学的方法多种多样，不拘泥于一种形式。所以，在平时的做题过程中，同学们要灵活多变，注意选用适合的方法解决题目。
把基本的记得就行了：(Xⁿ)' = n×Xⁿ﹣¹ ；如：(3X⁴)′= 4×3X³=12X³, (X)'=1×X¹﹣¹=1
（求导时系数不变）
(lnX)'= 1/X；(lgX)'=[(lnX)/(ln10)]'=(lnX)'/ln10=1/(Xln10)
[af(x)]' = a[f(x)'];（其中乱迅a为系数）
[f(x)±g(x)]' = f(x)'±g(x)'；如：2X + lnX = 2+1/X
[f(x)g(x)]'=f(x)×g(x)'+f(x)'×g(x) ；如：X³ × lnX = X³/X + 3X²×lnX = X²+3X²lnX
[f(x)/g(x)]'=[f(x)'×g(x)-f(x)×g(x)']/g²(x)；如：(lnX)/X = [(1/X)X - lnX] / X²
[f(g(x))]'=f'(g(x))×g'(x)；如：ln(X³) = (1/X³)×(3X²)
(sinX)'=cosX；如：(sin2X)'=(cos2X)×2
(cosX)'= ﹣sinX
(tanX)'=(sinX／盯陪悔cosX)'=[cos²X＋sin²X]／cos²X=1/cos²X
这些是最基本的，也是必须记得特别熟练的，这样不管什么考题都不怕了；
高中一般用导数凯正用来求最值，很方便的，导数为0的点就是极值点（注意，还不是最值），你再分析单调区间和两端点的值就可以得出最值了，这些书上都有，掌握原理就得了。
（千万不要偷懒，一定要背熟上面的基本，否则不光高考要吃亏，到了大学你学积分时也会搞不懂的，因为这些都是学习积分的最最基础，而且假如以后你要考研究生，对于理工类的学生来说，积分也是最热点考题！！！）
