目录中考最值问题归纳 代数式的最大值和最小值公式 代数式求最值五种方法 初中数学最大值问题 初中数学最值问题归纳总结
最大值最小值有很多求法。比如一次函数，看斜率宴穗k，k大于0，x越大y越大。k小于0，x越大y越小。如果是二次函数，用配方法，先配派袜成完全平方式加上一晌羡卜个常数，再看a大于0，这个常数就是最小值，如果a小于0，常数是最大值。
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最值问题的常用解法及模型如下：
模型一：三角函数有界性
在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，这是求解三角最值问题的最常用的方法。
另外，在解三角形问题中，两大利器就是正弦定理和余弦定理，它们两个的基本操作方法无非就是“角化边”或者“边化角”，将多元问题降元，转变成一元问题，再结合三角锋御函数的有界性即可求解出最值。
模型二：二次函数性质
将求解的最值问题转换成二次函数的最值问题，这样题目就迎刃而解。
例题：已知△ABC中，c=2，b=√3a，则试求△ABC面积的最大值。
模型三：基本不等式及推论
1、利用正弦定理或余弦定理，转化为二元问题，再利用基本不等式及其推论求解最值。
对老团于抛物线f(x)=ax²+bx+c端点函数值为f(t1)=at1²+bt1+cf(t2)=at2²+bt2+c
绘制出抛物线的图形，根据其开口方向，即可判断函数有最大值还是最小值
a>0时，图形开口向下，图形有最大值，最大值点为顶点，最小值点在区间端点处取得
a<0时，图形开口向上，图形有最小值，最小值点为顶点，最大值点在区间端点处取得
2、对于正比例函数f(x)=kx，图形为一条直线，最大值和最小值均在端点处取得。
3、对于反比例函数f(x)=k/x，(x≠0)图形为双曲线，若区间内不包含x=0的点，则函数在端点处取得最值，若区间内包含x=0的银含岩点，区间因x=0点无定义而分段，函数图形分段，须分段讨论最值。
4、对于三角函数f(x)=Asinx，最大可能取值A，最小可能取值-A，其最值因区间而异。
几何最值问题是指在一定的条件雹简答下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。在源慧中考中常以填空选择及解答题形式出现，难易程度多为难题、压轴题。务必掌握求几何最值的基本方法：
（1）特殊位置及极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一咐春般情况下的推理证明（2）几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理。常见几何性质有：两点之间线段最短；点到直线垂线段最短；三角形两边之和大于第三边；斜边大于直角边（3）数形结合法：分析问题变动元素的代数关系，构造二次函数等。
代数最值问题一般以应用题形式出现，常见题型为求一个花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大的方案。作为各地中考必考题之一，难度以中档为主，是所有学生必拿之分。解这类题目的关键点在于合理建立函数模型，理解题意的基础上，合理设出未知量，分析题中等量关系，列出函数解析式或方程，求解、讨论结果意义并以“答：……”做结尾。特别注意如果所列方程为分式方程，需检验增根！
具体例题题型如下：
初中数学竞赛中最值问题求法应用雹培毁举例
最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、任何一年的竞考都是必考内容。现根据我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下：
（一）根据非负数的性质求最值。
1、若M =（X±a）2 +b ，则当X±a = 0时M有最小值b 。
2、若M = －（X±a）2 + b ,则当X±a = 0 时M有最大值b 。
3、用（a±b）2≥0 ，∣a∣≥0,a≥0的方法解题。
【说明：这里用到的很重要的思想方法是配方法和整体代换思想。】
2 22例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a+ b + c = 9，则代数式 （a － b）2+
（b —c）2+（c － a）2的最大值是 （）
A．27B、18C、15D、12
解：(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2= 2(a2+b2+c2)－2ab－2bc－2ca = 3(a2+b2+c2)－a2－b2－c2－2ab－2bc－2ca = 3(a2+b2+c2)－(a2+b2+c2＋2ab＋2bc＋2ca)
=3(a2+b2+c2)－(a+b+c)2 = 27－(a+b+c)2 ≤ 27 .∵a2+b2+c2 = 9 ,∴ a,b,c 不全为0 。当且仅当a + b + c = 0 时原式的最大源备值为 27 。
222【说明，本例的关键是划线部份的变换，采用加减(a＋b＋c)后用完全平
方式。】
例题（2）、如果对于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N +
1都能表示成K个完全平方数的和，那么K的最小值是 （）
A、1B、2C、3D、4
解：设 ∵ 3N+1是完全平方数，∴ 设 3N+1 = X2 （N≥ 8），则3不能整
2除X，所以X可以表示成3P±1的形式。3N＋1=（3P±1）= 9P2±6P+1=3X2
±2X+1=X2+X2+（X±1）2。即3N+1能够表示成三个完全平方数的和。所以K的最小值为 3 。选 C 。
【说明，本例的关键是如何把3X2拆成X2＋X2＋X2，然后配方求解。】 例题（3）、设a、b为实数，那么a2＋ab＋b2－a－2b的最小值是——————————。
b?12解：a2＋ab＋b2－a－2b = a2＋(b－1)a＋b2－2b = a2＋(b－1)a＋()2
331b?123＋b2－b－ =(a＋)＋(b－1)2－1 ≥ －1 。只有当a＋42424
b?1= 0且b－1= 0 时，即a=0，b=1时取等号。所以原式的最小值是－1。2
【注意：做这一类题的关键是先按一个字母降幂排列，然后配方。】 例题（4）、已知实数a、b满足a2＋ab＋b2=1 ，则a2－ab＋b2的最小值和最大
值的和是———————— 。
1222222 解：设a－ab＋b = K,与a＋中洞ab＋b =1联立方程组,解得：a＋b = (12
1＋K),ab = (1－K)。 2
11∵(a＋b)2≥0,∴a2＋b2＋2ab=(1＋K)＋2×(1－K)≥0,∴K≤3 .22
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用运动的观点来探究几何图形变化规律的试题称之为动态几何型试题。 动态几何型试题以运动为载体，集代数与几何的众多知识于一体，并且渗透了分类讨论、转化化归、数形结合，函数方程等重要的数学思想。动态几何中的最大、最小值问题常常利用图形变换过程中的变量与不变量，动中求静，利用变量的有关性质来解决。
动态几何型试题中的求最值问题多出现在中考压轴题中，常见的动态几何型试题有三种类型：点动型试题，线动型试题，形动型试题。
解题的关键是把握以下三点：
借助图形在运动中产生的函数关系问题来探究几何图形的变化规律。
借助图形在四种变换（平移、旋转、折叠、相似）过程中的变量与不变量，动中汪裂求静，利用变换的有关性质来解决一些几何图形的最值问题。
解答过程中往往需要综合运用旦陵凯转化思想，分类讨论思想，数形结合思想，方程思想，函数思想等多种数学思想。
一、点动型试题：这类试题通常是在三角形、四边形、函数图像等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中相伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察。点动型试题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性。
例如：如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）。若点P为抛物线上的一个动点，且位于A、C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积。
分析：过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q，然后又割补法可得：S△PAC=S△PAQ+S△PCQ，最后将问题转化为S△PAC=½PQ×OC求解。
解答过程：
点评：试题貌似平凡，但细细品味，却有深藏不露的“精彩”，尤其是关于面积最值的探究问题，如果分析方向不正确，也很难找到思路，此外，试题对函数与方程、化归与转化、数形结合、待定系数法等重要的数学思想方法都有较好的体现。
二、线动型试题：这类试题是以线的移动或旋转来揭示图形的性质和变化规律的试题
点评：试题以直角坐标系为背景，以对称性及二次函数为载体，起点不高，但要求较全面，融入了动态几何的变和不变、数形结合、化归等数学思想。解好本题除了必须具有扎实的基础知识外，还需有良好的思维习惯和心理素质。
三、形动型试题：这类试题主要包含图形的平移、旋转、翻折和滑动四大类。
点评：本题结合矩形的性质以及三角形的相似，考查模唤了二次函数的应用，利用数形结合的思想来求解是本题的基本思路。
总之，初中的几何图形动点问题中求最值往往要把一般化为特殊，动中求静，利用数形结合思想、方程思想、函数思想等多种思想来解决问题。
