数学欧拉公式，欧拉公式全部公式

目录

欧拉公式全部公式

初中欧拉公式因式分解

欧拉公式三数立方和

欧拉公式的四种形式

欧拉公式怎么得出来的

欧拉公式全部公式

事实上，欧拉公式有平面与空间两个部分：

空间中的欧拉公式

V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

在多面体中的运用:

简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系

这个公式叫欧拉公式。公式仔配描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

平面上的欧拉公式

，其中V是图形P的顶点个数，F是图形P内的区域数，E是图形的边数。

在非简单多面体中，欧位公式的形式为：

其中H指的是平面上不完整的个数，而C指的是独立的多面体的个数，G指的是多面体被贯穿的个数。

证明

（1） 把念皮指多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。

（2） 去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。

（3） 对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。

（4） 如果某一握基个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。

（5） 如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。

（6） 这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。

（7） 因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。

（8） 如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。

即

成立，于是欧拉公式：

得证。[2]

初中欧拉公式因式分解

R+ V- E= 2。

在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+ V- E= 2，这就是欧拉定理，它于1640年由野并Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉）于1752年又独立地给出颂让迹证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。

R+ V- E= 2就是欧拉公式。

欧拉公式是欧哈德·欧拉在十八世纪创造的，是数学界最著名、最美丽的公式之一。之所以如此，是因为它涉及到各种显然非常不同的元素，比如无理数e、虚数和三角函数。

欧拉公式的历史

1714年，英国物理学家和数学家罗杰·柯茨在一个公式中建立了对数、三角函数和虚数之间的关系。

二十年后，滑兆莱昂哈德·欧拉用指数函数代替对数得到了同样的公式。

以上内容参考：-欧拉公式

欧拉公式三数立方和

瑞士著名的数学家欧拉，是数学史上的最多产的数学家，他毕生从事数学研究，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支．比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f(x)表示函数，e表示自然对数的底，a、b、c表示△ABC的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等．其中欧拉公式的一个特殊公式ei＋1＝0，将数学上的5个常数0、1、i、e、联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V-E＋F＝2，V、E、F分别代表一简单高漏握多面体的顶点、棱和面的数目，今天我们就去体验当年的数学大师是如何运用数学思想和方法发现欧拉公式并给予理论上的推理证明等研究活动，希望大家在活动中要充分展开自己的想象，展开热烈的讨论互相进行数学搜中交流．

欧拉公式的证明

欧拉公式V＋F-E＝2，人们已给出多种证法，本节课中给出的是比较直观且不涉及其他更深知识的一种证法，适合我们的知识状况的一种证明方法，这种拉橡皮膜的方法体现了拓扑变换的特点．下面，介绍另两种思维方法供参考．

证法一：(1)假想一凸多面体的面用薄橡皮做成，内部是空的，现破掉一个面，把其余的面展平并保持原表面的多边形的边数不变，成为一个平面网络，这时V、E不变，只是F少1，于是即证在网络中V-E＋F＝1．

(2)在网络中的多边形边数若大于3，由戚庆于每增加一条对角线，则E、F各加上1，V-E＋F不变，于是尽可能增加对角线，使网络成为全由三角形组成的网络．

(3)边缘上的三角形若有一个边不是与其他三角形共边，去掉这边，则V不变，E、F各减少1；若有两边不与其他三角形共边，去掉这两边，则F、V各减少1，E减少2，这样逐步可把“周围”的三角形一一去掉)．

(4)最后剩下一个三角形，显然满足V-E＋F＝1，从而在凸多面体中，V-E＋F＝2．

证法二：设F个面分别为n1，n2，…， 边形，则所有面角总和

∑a＝(n1-2)＋(n2-2)＋…＋( -2)＝(n1＋n2＋…＋ )-2F＝2E-2F①

如上面展成平面网络后，设去掉的一个面为n边形，可得到一个由n边形围成的网络，内部有V-n个点．

则∑a＝(n-2)＋(n-2)＋(V-n)2＝(n-2)2＋(V-n)2②

由①、②易得我们所得到的式子．

欧拉公式的四种形式

(Euler公式)

在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做

欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。

（1）分式里的欧拉公式：

a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

当r=0,1时式子的值为0

当r=2时值为1

当r=3时值为a+b+c

（2）复变函数论里的欧拉公式：

e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

将公式里的x换成-x，得到：

e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.

这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：

e^i∏+1=0.

这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然棚陵数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

（3）三角形中的欧拉公式：

设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：

d＾2=R＾2-2Rr

（4）拓扑学里的欧拉公式：

V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑改培学研究的范围。

在多面体中的运用:

简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系

V+F-E=2

这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

（5）初等数论里的欧拉公式：

欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。

欧拉证明了下面这个式子：

如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有

φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

利用容斥原理可以证明它。

此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。[编辑本段]欧拉方程Euler’s equation

对无粘性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微

分方程。欧拉方程是无粘性流体动力学中最重要的基本

方程,应用十分广泛。1755年,瑞士数学家L.欧拉在《流

体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。

在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：

（ax^2D^2+bxD+c）y=f(x),

其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D^2y的系数是二次函数ax^2，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数核和唯。这样的方程称为欧拉方程。

例如：(x^2D^2-xD+1)y=0,(x^2D^2-2xD+2)y=2x^3-x等都是欧拉方程。

化学中足球烯即C-60和此方程有关

证明过程：

利用级数。

exp(x)=1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3!＋(x^4)/4!+……

sin(x)=x-(x^3)/3!+(x^5)/5!-(x^7)/7!＋……

cos(x)=1-(x^2)/2!+(x^4)/4!-(x^6)/6!＋……

其中exp(x)=e^x

于是exp(ix)=1+ix-(x^2)/2!-i(x^3)/3!+(x^4)/4!＋i(x^5)/5!＋……

比较以上3式，就得出欧拉公式了

[编辑本段]泛函的欧拉方程(by zhengpin1390)

(二)、泛函的欧拉方程

欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问题转化为微分问题。

（1） 最简单的欧拉方程：

设函数F(x,y,y') 是三个变量的连续函数，且点(x,y)位于有界闭区域B内，则对形如

的变分，若其满足以下条件：

c) 在有界闭区域B内存在某条特定曲线y。(x) ，使泛函取极值，且此曲线具有二阶连续导数。

则函数y。(x) 满足微分方程：

上式即为泛函Q[y]的欧拉方程。

（2）含有自变函数高阶倒数的泛函的欧拉方程

一般来说，对于下述泛函：

在类似条件下，可以得到对应的欧拉方程为：

（3）含有多个自变函数的泛函的欧拉方程

对于下述泛函：

其欧拉方程组为：

（4）多元函数的泛函及其欧拉方程

此处仅考虑二元函数的情况，对如下所示多元函数的泛函：

其欧拉方程为：

[编辑本段]欧拉方程 (刚体运动)

在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动。我们可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系。这使得计算得以简化，因为我们现在可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。

欧拉公式怎么得出来的

中国周易，伏义，鲁班，弊友袁天罡，鬼谷子，刘伯温。经典之哲学。写稿创作，那个不超过欧拉，费马，哥德巴赫，敬穗爱因斯坦，黎曼猜想！亮卜卜小学生知识思维时钟编程AⅠ制。