目录数列分式递推公式不动点方程 高中数学6种构造数列法 不动点法求数列通项例题 数列不定点方程 不动点法求数列通项的原理
这个真要解释清楚需要用到大学数学中线性代数和组合数学的知识，很麻烦，高中阶段你只要会用并粗肢能证明其正确性即可……
证明如下：
特徵方程法：
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
其特征方程为x^2-p*x-q=0
i.若其有两个不相等的根（称作特征根）α、β
则an=A*α^n+B*β^n
其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.
ii.若其有两个相等的根α
则an=(A*n+B)*α^n
其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.
最终可得：
当{an}有两个不等的特征根为根α,β时
由
a(n+2)-α*a(n+1)=β^(n-1)*(a2-α*a1)
a(n+2)-β*a(n+1)=α^(n-1)*(a2-β*a1)
得
an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)-((a2-β*a1)/(α-β))*β^(n-1)
或由
A*α+B*β=a1
A*α^2+B*β^2=a2
可得
A=(a2-β*a1)/(α^2-α*β)
B=(a2-β*a1)/(β^2-α*β)
得
an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)+((a2-β*a1)/(β-α))*β^(n-1)
当特征根为重根α时
由
an-α*a(n-1)=α^(n-2)*(a2-α*a1)
α*a(n-1)-α^2*a(n-2)=α^(n-2)*(a2-α*a1)
α^(n-2)*a2-α^(n-1)*a1=α^(n-2)*(a2-α*a1)
an-α^(n-1)*a1=(n-1)*α^(n-2)*(a2-α*a1)
得
an=((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2)
或由
(A+B)*α=a1
(2*A+B)*α^2=a2
可得
A=(a2-a1*α)/(α^2)
A=(2*a1*α-a2)/(α^2)
得
((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2)
由于
α+β=A
α*β=-B
由韦达定理，可构造一元二次方程
x^2-p*x-q=0
此即为二阶常系数齐次线性递推数列
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
的特徵方程
特殊的，当二阶常系数齐次线性递推数列
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
的特徵根为重根α=1时
即p=2，q=-1
a(n+2)=2*a(n+1)-an
此时，二阶常系数齐次线性递推数列
a(n+2)=2*a(n+1)-an
为等差数列
不动点法：
递推式：
a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D)
（n∈N*，A,B,C,D为常数，C不为0，AD-BC不为0，唤凳枝a1与a2不等）
其特征方程为x=(A*x+B)/(C*x+D)
特征方程的根称为该数列的不动点
这类递推式可转化为等差数列或等比数列
1）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有两个不等的根α、和敏β，则有：
(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=k*((an-α)/(an-β))
其中k=(A-α*C)/(A-β*C)
x=(A*x+B)/(C*x+D)
C*x^2+(D-A)*x-B=0
α不等于β
(D-A)^2+4*B*C不等于0
C*α^2+(D-A)*α-B=0
C*α^2-A*α=B-α*D
a(n+1)-α=(A*an+B-C*α*an-α*D)/(C*an+D)=(A*an-C*α*an+C*α^2-A*α)/(C*an+D)=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)
a(n+1)-β=(A*an+B-C*β*an-β*D)/(C*an+D)=(A*an-C*β*an+C*β^2-A*β)/(C*an+D)=(A-C*β)*(an-β)/(C*an+D)
(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=(A-α*C)/(A-β*C)*((an-α)/(an-β))
由
(an-α)/(an-β)=((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1)*((a1-α)/(a1-β))
得
an=(β*(((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-α)/(((((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-1)
=(β*(a1-α)*(A-α*C)^(n-1)-α*(a1-β)*(A-β*C)^(n-1))/((a1-α)*(A-α*C)^(n-1)-(a1-β)*(A-β*C)^(n-1))
2）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有重根α，则有
1/(a(n+1)-α)=1/(an-α)+k
其中k=(2*C)/(A+D)
x=(A*x+B)/(C*x+D)
C*x^2+(D-A)*x-B=0
C*α^2+(D-A)*α-B=0
α=(A-D)/(2*C)
a(n+1)-α=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)
1/(a(n+1)-α)=((C*an+D)/(A-C*α))*(1/(an-α))
=1/(an-α)+(C*an+D-A+((A-D)/(2*C))*C)/((A-(A-D)/(2*C)*C)*(an-(A-D)/(2*C)))=1/(an-α)+(C*an+C*(D-A)/(2*C))/(((A+D)/2)*(an+(D-A)/(2*C)))
=1/(an-α)+(2*C)/(A+D)
由
1/(an-α)=(2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α)
an=1/((2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α))+α
不动点法求数列通项详细推导过程
数列中，A1=1,A2=2, A(n+2)=-A(n+1)+2An （A后的括号代表下标）求An通项
这道体我当时记了个方法：原式变形后 A(n+2)+A(n+1)-2An＝0
令 X^2+X-2=0 解得X=-2 或 1 所以｛A(n+1)-An｝为公比-2的数列；｛A(n+1)+2An｝为公比1的数列
然后联立 解芦雹简出来
上述方法，应该说是特征根法和不动点法。
特征根：
对于多个连续项的递推式（不含常数项），可化为X的(n-1)次方陪裤程.
即：a0*An+a1*An+1+a2*An+2+...ak*An+k可写为：
a0+a1x+a2x^2+...akx^(k-1)=0
然后求出根（实根虚根都可以），不同项写成C*x^(n-1),相同项写成关于n的整式，有多少同根，n的次数就是同根数减1，比如求出x1=2,x2=3,x3=3,x4=6,x5=3,通项就是：a*2^(n-1)+b*6^(n-1)+3*(cn^2+bn+d),其中abcde都是待定系数，要靠已知项联立方程求解。
不动点：
比如：已知a1=1,且a(n+1)=1+2/an (n大于等于1),求an
a(n+1)=(an+2)/an(*)
令an=x,a(n+1)=x
x=(x+2)/x
x^2-x-2=0
x1=2,x2=-1
数列 {a(n)}，设递推公式为 a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)，则其特征方程为 x^2-px-q=0 .
若方程有两相异根 A、B，则 a(n)=c*A^n+d*B^n (c、d可由初始条件确定，下同)
若方程有两等根 A=B，则 a(n)=(c+nd)*A^n
以上部分内容的证明过程：
设 r、毁键让s 使 a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)]
所以 a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n)
即，s+r=p，sr=-q，由韦达定理可知，r、s 就是一元二次方程 x^2-px-q=0 的两根，也就是刚才说的特征根。
然后进一步证明那个通项公式：
如果r=s，那么数列{a(n+1)-r*a(n)} 是以 a(2)-r*a(1) 为首项、r 为公比的等比数列，根据等比数列的性质可知：a(n+1)-r*a(n) = [a(2)-r*a(1)]*r^(n-1)，
两边同时除以r^(n+1)，得到 a(n+1)/r^(n+1)-a(n)/r^n = a(2)/r^2-a(1)/r
等号右边的是个常数，说明数列{a(n)/r^n} 是个等差数列。显然等号右边那个就是公差，首项也比较明显，这里不纤局重复了。根据等差数列性质：a(n)/r^n = a(1)/r + (n-1)*[a(2)/r^2-a(1)/r]
整理一下，并设 a(2)/r^2-a(1)/r = d ，再设 2a(1)/r-a(2)/r^2 = c ，然后把那个 r 用 A 来代，就可以得到 a(n)=(c+nd)*A^n 了。
不动点法：
递推亮前式：
a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D)
（n∈N*，A,B,C,D为常数，C不为0，AD-BC不为0，a1与a2不等）
其特征方程为x=(A*x+B)/(C*x+D)
特征方程的根称为该数列的不动点
这类递推式可转化为等差数列或等比数列
1）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有两个不等的根α、β，则有：
(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=k*((an-α)/(an-β))
其中k=(A-α*C)/(A-β*C)
x=(A*x+B)/(C*x+D)
C*x^2+(D-A)*x-B=0
α不等于β
(D-A)^2+4*B*C不等于0
C*α^2+(D-A)*α-B=0
C*α^2-A*α=B-α*D
a(n+1)-α=(A*an+B-C*α*an-α*D)/(C*an+D)=(A*an-C*α*an+C*α^2-A*α)/(C*an+D)=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)
a(n+1)-β=(A*an+B-C*β*an-β*D)/(C*an+D)=(A*an-C*β*an+C*β^2-A*β)/(C*an+D)=(A-C*β)*(an-β)/(C*an+D)
(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=(A-α*C)/(A-β*C)*((an-α)/(an-β))
由
(an-α)/(an-β)=((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1)*((a1-α)/(a1-β))
得
an=(β*(((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-α)/(((((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-1)
=(β*(a1-α)*(A-α*C)^(n-1)-α*(a1-β)*(A-β*C)^(n-1))/((a1-α)*(A-α*C)^(n-1)-(a1-β)*(A-β*C)^(n-1))
2）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有重根α，则有
1/(a(n+1)-α)=1/(an-α)+k
其中k=(2*C)/(A+D)
x=(A*x+B)/(C*x+D)
C*x^2+(D-A)*x-B=0
C*α^2+(D-A)*α-B=0
α=(A-D)/(2*C)
a(n+1)-α=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)
1/(a(n+1)-α)=((C*an+D)/(A-C*α))*(1/(an-α))
=1/(an-α)+(C*an+D-A+((A-D)/(2*C))*C)/((A-(A-D)/(2*C)*C)*(an-(A-D)/(2*C)))=1/(an-α)+(C*an+C*(D-A)/(2*C))/(((A+D)/2)*(an+(D-A)/(2*C)))
=1/(an-α)+(2*C)/(A+D)
由
1/(an-α)=(2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α)
an=1/((2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α))+α
注:并非本人总结，仅供参考。
数列不动点法原理：
对于函数f(x)，若存在实数x0，使得f(x0)=x0，则称x=x0是函数f(x)的（一阶）不动点。
同样地，若f(f(x0))=x0，则称x=x0是函数f(x)的二阶不动点。容易发现，对于一阶不动点x=x0，有f(f(x0))=f(x0)=x0，因此一阶不动点必然是二阶不动点。
在几何上，曲线y=f(x)与曲线y=x的交点的横坐标即为函数f(x)的不动点。
一般地，数列{xn}的递推式可以由公式xn+1=f(xn)给出，因此可以定义递推数列的不动点：对于递推数列{xn}，若其递推式为xn+1=f(xn)，且存在实数x0，使得f(x0)=x0，则称返穗游x0是数列{xn}的不动点。
数列不动点的性质：
若从某一项xk开始，数列的取值即为x0，也即xk=x0，则xk+1=f(xk)=f(x0)=x0，xk+2=f(xk+1)=f(x0)=x0漏销，以此类推，根据数学归纳法，可以得到当n≥k时，xn=x0，也即数列{xn}在k之后“不动”了。
有时候，数列{xn}中的值可能无法取到x0，但是会“接近”x0，也即收敛族弊于x0。所谓“收敛”是指当n充分大时，数列{xn}趋向于某个值x，也即limn→∞xn=x，代入递推式即可得到f(x)=x。
当f(x)=x时，x的取值称为不动点，
典型例子：
a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)
注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。
我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求扰拿裤倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了x=(ax+b)/(cx+d)
令
，即
，敏键cx2+(d-a)x-b=0
令此方程的两个根为x1，x2，
若x1=x2
则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p
其中P可以用待定系缓简数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=2c/(a+d)
若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)
其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=(a-cx1)/(a-cx2)
简单地说就是在递推中令an=x
代入
a(n+1)也等于x
然后构造数列.
