目录魔鬼数学适合什么人看 清华最难奥数题 《圆周率之歌》 魔鬼数学全文 魔鬼数学免费
一、彩票是否值得买
亚当.斯密是反对者之一，因为人们过高估计了中奖的概率。
假设彩票兑奖10000次，棚搏尺但是组织机构为了赚钱，可能获奖的名额只有1个，奖金肯定小于10000，比如就是6000元，所以你买一注，中将概率为1/10000，如果你买2注，概率会稍微高一点点，但是还是很低。如果你买6000注，有60%中奖概率，40%不中奖，虽然中奖概率变大，但最好的结果也就就是不亏不赢。如果你买10000注，那么你肯定会中奖，但是你会亏4000元。（彩票案例）
亚当.斯密的推断中缺失了“期望值”，什么是期望值？对于每一种可能的结果，将出现该结果的概率与该结果所对于的彩票银岁价值相乘。假设1注彩票兑奖10000次，其中有9999次是无效的，有一次是6000元，那么：出现亏的概率为9999/10000,即没有中奖，得到0元。出现获利的概率为1/10000，得到6000元。故该彩票价值的期望值为（9999/10000）*0+（1/10000）*6000=0.6元
二、期望值并不是我们所期望的价值
虽然算出来“期望值”为0.6，但是我们期望的彩票价值是6000元，数学中的“期望值”概念并不是我们所期望的价值。
三、如何为终身年金保险定价
年金多少要考虑年龄，如老奶奶预期存活的时间短，因此购买终身年金保险时需要支付的钱应该小于比她年纪小的人所支付的金额。
向年轻人多收钱不是显而易见的事情吗？但事实并不是那么显而易见。
四、别玩强力球
1.别玩强力球，因为强力球彩票期望值小于花费金额，不值得购买。
2.如果一定要买强力球，等到累计奖金非常高的时候再买。
3.尽可能降低与其他人分享大家的概率。
强力球只是彩票的一种形式，所有彩票都有一个共同特点：胜算不大。
五、麻省理工学院学生买彩票的故事
但是，也有例外，比如“cash winfall”彩票，该彩票奖金规则：如果一周之内没有人领走累积奖金，奖金就会向下分配，增加容易赢取链高的奖项的金额，累积奖金将会被重置，在下一次开奖时降到50万美元的最低额度。
奖金向下分配时，回报率会大大增加，每张彩票的期望值就增加，这时候麻省理工的大学生一次性买1000张彩票，这就是期望值的相加性。
六、布封的硬币、缝衣针和面条问题
硬币问题：把硬币扔到一个方形地砖上，硬币是完全落在一块砖上还是骑在砖缝上。
数学是我们从小学到高中甚至作为理科生毕生都要学习的知识。但是我们除了在生活中运用基本的加减乘除法之外，似乎也想不到数学能给我们的生活带来哪些改变。曾经我也是这么认为，不过看完《魔鬼数学》这本书之后，我对数学有了很大的改观。这本书让我知道数学对于我们来说并不遥远，也不像我们想象的那么深奥，很多的数学知识都来自生活之中。
很多的时候我们在无意识中已经在应用数学知识，但是正因为对数学知识的不理解才让我们在不知不觉中走向了事与愿违的境地。比如，我们有时候会认为某样东西有价值，因此理所当然的认为多多益善。这便是一种线性推理。而很多时候，线性思维往往是一种片面的思考方法。比如政府税收，很多人认答携为政府的税收和税率成正比（即线性），因此认为提高税率就会增加政府的税收。其实不然，过高的税率会降低人们劳动的积极性，使总价值变小，那么税收也会变少。因此税率和税收之间的关系是非线性的。
非线性思维表明，正确的前进方向取决于你当前所在的位置。如上图所示，如果目前的税率处在最高税收的左侧，那么可以提高税率。如果目前的税率处在最高税收的右侧，则降低税率才是一个好选择。
对于线性思维和非线性思维，我们在没有了解这些数学知识之前，并不会太在意它们之间的区别。但是就像下面的这个例子，我们将会知道数学给人带来清数伏多么大的震惊。
一位股票经纪人主动给你发来 一份行业资讯，透露了某只股票将要大涨的消息。一周之后你发现这只股票果然涨了。第二周，这位经纪人预言某只股票会跌，结果出乎预料的又应验了。一连10周，这位经纪人对不同股票涨跌的预言全部应验。那么请问，你会相信这位经纪人，并花重金请他来管理你的资金吗？
我想很多人会迫不及待的把自己财产交给这位经纪人吧。但是，如果从这位经纪人的视角来讲这个故事，情况就大不一样了。第一周，经纪人一共发出了10240份行业资讯，其中一半预测股票会涨，一半预测股票会跌。如此，第二周，收到预测错误资讯的5120人被忽略，包括你在内的收到预测正确资讯的5120人将会继续被分为两组，一组收到预测股票会涨的资讯，另一组刚好相反。如此反复。到第10周，会有10名幸运儿会连续10次收到这位经纪人的正确预测。无论股市是什么情况，这个结果都不会改变。
即便这个股票经纪人是个什么都不懂的外行，最终都会有10个人在收到10期正确预测的股票资讯之后，认为此经纪人是个天才，从而骗到大把的资金。这个之所以能够奏效，是因为它告诉你的不是虚假信息，而是巧妙的利用数学原理让你形成错误的结论。连续10次都猜对的情况虽然属于小概率事件，但是在样本足够大的情况下，的确可能发生。
小概率事件并不少见。遭遇雷击或是彩票中奖的可能性就非常小，但是这样的事情却不断发生。这是因为世界毕败上人口众多，有很多人买彩票，如果视野放得足够宽，大多数巧合事件就不足为奇了。
正是因为很多人不明白概率这个数学知识，才相信买彩票可预测，才在一个又一个中不知所措。由此可见，数学知识在生活中的确应该有举足轻重的位置。本书给了我很多的启发，让我重新认识了数学，也让我对数学产生了浓厚的兴趣。
我们为什么学数学？学数学到底有什么用？数学到底难不难？
对于大多数人而言，数学伴随着我们教育的整个历程。我们时常沉浸于那一堆堆的数字和公式，仿佛身处汪洋之中。
数学对于我们的生活，最有用的不外乎加减乘除。难道我们如此多年的数学教育只是为了简单的计算？
乔丹艾伦伯格是数学界的超级明星，他在大学数学系任教，同时致力于零基础受众的数学科普。《魔鬼数学》一书当中没有过多的复杂公式，它的意义在于唤醒人的数学思维，并将其应用于生活当中。
数学知识可以分为四个象限。
第一个象限，简单而浅显的数学知识。比如简单的加减乘除、三角函数。
第二个象限，复杂但是浅显的数学知识。比如多位数的计算。
第三个象限，复杂且深奥的数学知识。比如黎曼假设、费马定理。这个象限几乎为数学家的专属，普通人难以窥其万一。
第四个象限，简单而深奥的数学知识。比如随机性、因果关系。这个象限的知识我们平时学不到但十分重要。这本书便是专门介绍这一象限。
书中列举的一个故事十分的经典，这个故事是“失踪的弹孔”。
第二次世界大战期间，美国军方秘密建立了一个统计研究小组，目的是为战争中的美军服务。有一次，军方为了不让自己的飞机被击落，想在飞机上增加装甲。但装甲太多会影响飞机飞行，于是增加多少装甲便是想让数学家解决的问题。
军方提供了大量数据，美军飞机在和敌方交火并返回后，会留下很多弹孔。军方发现，在返回的飞机上，机身上的弹孔会比引擎上的弹孔更多。于是他们判断机身是更应该保护的部分，而在机身上增加多少装甲正是他们想要知道的东西。
故事说到这里，军方的观点似乎没喊中穗问题。机身上的弹孔比引擎上的多，机身中弹的概率更大，那么机身更需要保护。
但数学家瓦尔德给出了不一样的看法。装甲最应该装配的地方并不是弹孔多的机身，而是弹孔少的引擎。
这是为什么？读到这里，大脑一堆的问号。
原来，子弹不会长眼睛，机身和引擎上的弹孔数量应该差不多。为什么引擎上的更少？因为被统计数据的飞机都是幸存下来，机身中弹更多的一部分。而引擎中弹更多的那部分去哪里了呢？它们被击落了，无法被用于数据统计。这说明军方用来统计弹孔的飞机并不具有代表性。在中弹概率相同的条件下，击中引擎更容易导致飞机坠落。
因此引擎更应该被保护。
看到这里才恍然大悟。军官的空战知识远超瓦尔德，但也会犯这种先入为主的错误。瓦尔德能看到军官看不到的东西，这便是数学思维的应用。
数学家把军官的这种失误称为“幸存者偏差”，也就是说，你只看到了幸存下来的，却没有看到那些已经失败和消亡的。
再比如，随着经济和医疗条件的发展，人的寿命逐渐提高，但患癌症的人逐年增加。难道是生活条件改善促使人患癌郑卜症的概率增加？真实情况之一是，癌症属于老年病，以前生活条件艰难时，寿命较短，很多老人还没有来得及患病就去世了。
我们每个人都有数学基因，只不过不熟悉数学的表达方式。
我们在大脑中从事数学运算的功能区，实际上也是我们使用语言的功能区。
数学和语言同宗同源，都是为了探索某种模式，而且是为了说给别人听，并理解别人是什么意思。你天生的语言能力，就是掌握数学逻辑的基础。
中国的孩子数学更加优秀，除了教育模式之外，汉语的发音方式也有重要的作用。汉语可以让数字的描述更加简洁。
未来可不可以被预测？
未来很难被预测，未来在一定程度上可以被预测。预测未来最好的方法是线性外推。
线性外推的定义是什么？线性趋势外推法是最简单的外推法。这种方法可用来研究随时间按恒定增长率变化的事物。在以时间为横坐标的坐标图中，事物的变化接近一条直线。根据这条直线，可以推断事物未来的变化。培禅
这种方法只适用于随着时间线性变化的事物，比如人会逐渐衰老、太阳的东升西落。
预测短期和长期的技术难度相对较小，预测中期更为复杂。
预测短期趋势时，我们可能会高估；预测长期趋势时，我们可能会低估。
这说明一件事情短期之内很难看到效果，持之以恒、长期发展才会有意想不到的效果。
线性外推并不是十全十美。它有时只在一定范围之内起作用。比如小孩子身高一定会逐渐长高，但不会一直长高。成绩不好的人努力学习，成绩会越来越好，但不会一直好到超越所有人。
人类是容易轻信的，我们会试图寻找世间万物的联系，即使找到的仅仅是错误的联系。我们会在找到第一个支持证据之后就放手，不再思考这种联系到底是不是存在的，是因果关系还是相关关系。
数学思维是一种本能。抽象是数学的箱中最有威力的。
四种抽象思维的层次。“眼见为实”、“想到为实”、“眼见为虚”、“想到为虚”。
前三种每个人都能熟练掌握，只有第四种需要我们加强锻炼。
回归平均。回归平均是一种统计学的现象，一旦遇到随机性成功后，以后必定会出现回归平均。
比如一个棒球选手打出一场超常发挥的成功比赛之后，除非之后的每场比赛都更加超水平发挥，否则就会不如前一次而“回归平均”。
父母都是十分聪明的人，生下的孩子是否更加聪明？更大的概率是孩子不如父母聪明。如果预测孩子的智商，可以这样计算：父母智商的平均值和普通人的智商再取平均值。显然，每个人的智商都趋向于大众，智商很高和智商很低都是偶然事件。
如果将这种现象应用于财富，我们应当明白，没有永恒的财富，只有勤劳的人。
本周继续延续思维训练模块的阅读，主题是 “数学思维” ，精读书是美国威斯康星大学数学系教授 乔丹·艾伦伯格 写的 《魔鬼数学》 。
提到数学，可能有不少人会眉头一皱，仿佛回到那个掉落铅笔的午后，捡起来就再也听不懂数学老师的推导了，着实让人焦虑、惆怅。在学校所学的数学知识看上去不过是一堆沉闷的规则、定律和公理，我们在中学学了三角函数，到了大学又学了微积分，但是，大部分成年人在他们的日常生活中，能有几次用到余切函数或是不定积分的时候？那我们为什么还要学这些由前人传下来看起来又不容置疑的数学呢？
在这本《魔鬼数学》中，作者 摒弃了复杂的专业术语，用现实世界中的逸事、基础的方程式和简单的图表，来讲述数学的魅力，以及如何获得用数学原则解决生活中问题的技巧。 乔丹•艾伦伯格认为，数学是人类最重要的基础科学之一，也是生活中最有用的思维。 数学可以帮助我们更好地了解这个世界的结构和本质，应该被放在每个有思想的人的箱里，特别是在当下的大数据时代，我们更需要借助数学思维的力量，用于更好地解决问题，规避谬误和错误的方法。
书的一开始作者就提出一个观点， 数学知识可以分为四个象限，我们只需要重点关注其中的一个象限就行。
第一个象限是 简单而浅显 的数学知识。这些数学知识看起来更为复杂，但从理解的难度上来讲，其实也是非常简单的。
第二个象限是 复杂但是浅显 的数学知识。这些数学需要一些解题技巧，需要更细心，但是，这些仍然只是浅显的数学知识。我们在学校里花费了大量的时间学习解题技巧，其实对于领会数学的美并没有帮助，相反，可能还让我们对数学倒了胃口。
第三个象限是 复杂而且深奥 的数学知识。这是专业从事数学研究的人感兴趣的领域，要想进入这个领域，需要一定的数学天分，而且必须非常投入，付出艰辛的努力，一辈子孜孜以求。我们普通人可能只能在门口往里面瞄一眼，里面的神秘世界是什么样子的，我们并不清楚。这个领域的知识态掘是供我们这些普通人膜拜的。
最值得学习的是第四个象限的数学知识，也就是 简单而深奥 的数学知识。 简单，是因为这都是入门的知识；深奥，是因为这些知识是违反我们的直觉的，或是需要我们更缜密地推理的 。比如，对随机性的理解、对因果关系的理解、对回归的理解，都属于这一类。这里作者举了一个 “消失的弹孔” 的故事 ：如果需要给战机加装装甲，参考作战后返航的战机，应该加装在弹孔密集的机身，还是弹孔较少的引擎部位呢？二战期间美国军方的统计研究小组成员亚伯拉罕·瓦尔德认为，需要加装装甲的地方不应该是弹孔多的机身，而应该是弹孔少的引擎。为什么会是这样呢？先从一个理论假设来看。从理论上来高闭冲说，飞机各个部位中弹的概率应该是一样的。那么，为什么返航的飞机机身上的弹孔比引擎上的弹孔更多呢？换言之，引擎上本来应该戚歼有的弹孔去哪里了？瓦尔德认为，这是因为引擎被击中的飞机都坠毁了。回来的飞机，机身上尽管留下了很多弹孔，却仍然能够经得住打击，所以才能安全返航。打个比方来说，如果我们到战地医院去统计受伤的士兵，你会发现，腿部中弹的士兵肯定比脑部中弹的士兵要多。脑部中弹的士兵很少能够活下来，腿部中弹的士兵才有更大的概率存活。这就是所谓的 “幸存者偏差” ，也就是说， 我们只看到了幸存下来的，却没有看到那些已经失败和消亡的。
所以这本书主要讲的，就是介绍怎么运用了第四象限的数学方法分析和解决日常生活的问题，作者用寓教于乐的案例与方法，帮助我们重新认识了5个与数学有关的概念，分别是： 线性、推理、回归、存在和期望值 。
要想预测未来，最好的办法是从 确定性 开始。经济学家经常要做预测。有一个笑话说，经济学家最喜欢干的事情就是预测，但是最不在行的事情也是预测。如果要预测短期或者要预测长期相对容易，但最难的是预测中期。
预测短期和长期的时候会有更大的确定性，因为最简单的办法就是线性外推。 线性外推的方法是说今天发生了什么，明天还会发生。在现实世界中，确实有很多现象是线性变化，或者是类似线性变化的。比如人的衰老，信息的增长，中国的工业化和城市化的不可逆发展。在线性的趋势中，我们还可以再分辨出 硬趋势 和 软趋势 。 硬趋势是你可以测量或者感知出来的趋势；软趋势是你似乎可以看得到，似乎可以预测出来的推测。 比如二战结束后大批美国军人回国，出现婴儿潮，所以人口数据是我们看得见、可预测的硬趋势；而人们本来认为战后企业订单会暂时减少，经济因此出现衰退，可是并没有发生预想的经济衰退，这就是一种更难预测的软趋势。
相对来说， 预测短期和预测长期技术难度相对较小，而预测中期更为复杂。 不说别的，在中期会有更多的波动，而这些波动的转折点是很难预测的。比如，即使你知道股票存在着泡沫，但泡沫什么时候崩溃是很难预测的。即使你知道股价被低估，但被低估到什么时候会出现反弹也是很难预测的。
所以，在预测中期趋势的时候，一定要慎之又慎。在预测中期趋势的时候，噪音更多，规律更复杂。我们会遇到 波动 ，又会遇到 周期 。所以尽管线性趋势是最简单最直观的，但是我们还要提醒自己， 不是所有的现象都是线性趋势。盲目地应用线性趋势，有时会得出非常荒诞的结论。
再举一个例子。最近在讨论 特朗普减税 的时候，媒体经常会提到 拉弗曲线 。 拉弗曲线讲的是，随着税率的提高，税收一开始会增加，但是税率太高，会影响到人们的劳动积极性，税率会减少，税收反而会减少。 拉弗曲线是对的吗？从数学的角度来看，拉弗曲线可能是对的。拉弗曲线指出，税率和税收的关系并非是线性的。从常识上解释税率和工作意愿的关系似乎也说的通。但是为什么大部分经济学家对拉弗曲线嗤之以鼻呢？
因为 拉弗曲线缺乏坚实的理论基础 。首先， 税率不一定是决定政府税收收入的最重要因素 ，提高税收收入更有用的办法可能是提高征税效率。再者， 减税之后，人们的工作积极性也不一定就会提高 ，毕竟影响人们工作积极性的因素是很复杂的。 有两个因素决定了我们工作的积极性，一个是基础因素，一个是动力因素。金钱收入只是基础因素，而动力因素则包括挑战性，获得认可感、责任感和个人成长等等。
大部分经济学家并不是说拉弗曲线的形状不对，而是说，我们在 看待税改的时候不能简单用事 。现在，美国高收入的税率远比20世纪绝大部分时间要低得多，也就是说，几乎没有经济学家认为美国现在正处在拉弗曲线的下行区域。
如果 简单地评估一下特朗普减税的效应 的话，特朗普减税对美国经济的影响未必像有一些朋友想象的那么大。第一， 特朗普减税并不是发生在美国经济处在相对低迷的时期 。经济学告诉我们，只有在经济低迷的时候，减税对经济增长的刺激作用才更加明显；第二， 特朗普的减税明显带有“劫贫济富”的色彩 。这会加剧美国的贫富差距，使得本来已经撕裂的美国社会更加分化；第三， 如果在减税的同时没有减少政府的支出，很可能会导致美国的债务压力越来越大。
但是美国通过减税来让跨国公司的海外利润回流， 资本外流的压力、人民币重回贬值通道、被动减税的压力、资产价格泡沫可能面临的被动萎缩，留给我们中国“独善其身”的时间还有多久呢？ 这一次先不讲太多，等到后面关于“大国博弈”的读书模块，再来细说（容我先充充电再分享，捂脸hhh）
某一天，你突然接到一位来自巴尔的摩的股票经纪人的邮件，推荐了一只承诺一周后会涨的股票，你没有理睬，之后的十周里，他每周都推荐一只新的股票，而你惊喜地发现他预测的股票居然全都涨了，那么第十一周，你会选择购买他的股票吗？这就是非常著名的 “巴尔的摩股票经纪人” 的故事。然而，你或许会觉得神奇，甚至是奇迹的事情，巴尔的摩股票经纪人连续十次猜对股票的涨跌，却是一场背后隐藏着概率的。知道了方法，股市白痴也很容易就能实现，因为收件的对象不止一个。只需要在第一周发出10240份邮件，一半收件人的邮件预测这只股票涨，另一半做相反预测；下一周，后一种收件人就不会收到邮件了，余下的5120人分两批继续收到对半分的不同预测邮件，以此类推到了第十周，只剩下10个人会连续收到十周预测准确的邮件，你猜他们会怎么想呢？所以我们在做数学推理的时候要以这个故事为戒： 面对大数据的分析必须小心翼翼，二次方程的根可能不止一个，同一个观察结果有可能产生多种理论，让我们误入歧途的不是事情的真伪，而是推理的时候漏掉了某种假设。
“推理”这一章还提到了 “零假设”和“显著性检验” 两个非常有意思的概念。
零假设是假设毫无效果，或假设丝毫不起作用，或是假设没有任何相关关系。我们在做研究的时候，要从零假设开始，然后通过做实验，或是搜集数据，看看能不能推翻零假设。 怎么推翻零假设呢？这要用到显著性检验， 显著性检验其实是一种模糊的归谬法。
归谬法 的思路是，为了证明某个命题不正确，我们先假设该命题是真的，然后，我们看看能不能推导出来什么结论，如果这个结论明显是错误的，那么，该假设就是假的命题。也就是说，我们 先假定假设H为真，根据H，某个事实F不成立，但是，F是成立的，因此，H不成立。 然而在大多数研究中，我们 不可能如此斩钉截铁地得出结论 ，所以显著性检验出现了。
我们先假定假设H为真，根据H得到某个结果为O的可能性应该非常小，但是，很不幸，我们看到事件O发生了，因此，H成立的可能性非常地小。 比如，我们假定S先生是工作积极认真的，如果他工作是积极认真的，那么，在工作时间发现他打王者荣耀的概率就会很小，可是，我们却发现，此人确实曾有过该开重要的会议了，他还在打王者荣耀，那这说明什么？说明我们原来的假设，也就是说，他工作积极认真的假设很可能是错的。
所以显著性检验可以分成 四步 ：
1、开始实验；2、假定零假设成立；3、观察实验结果中出现事件O的概率，我们把这个概率称为P值。P值反映的是零假设成立的可能性；4、如果P值很小，我们就认为实验结果满足零假设的可能性很小，你可以通过这种归谬法判断，你原来想检验的猜想具有统计学上的显著性。如果P值很大，我们就得承认零假设还没有被推翻。
当然， 显著性检验也有潜在的陷阱需要注意 ：
1、P值多小才是显著的呢？在 显著性与非显著性之间并没有一条泾渭分明的界限 。
2、 我们不能假设一种因素一定会有影响力。如果我们太想得出有影响力的结论，就可能会操纵实验。
3、 不要误解“显著性” 。很多科学术语都有误导，显著性这个词就是典型的例子， 要分清作用“显著”和“有效”的区别 （论文写作要点get√）。
研究表明，身材高的父母生出身材高的孩子的概率不是百分之百。实际上，父母和孩子的身高是受到回归效应影响的。 在时间纵轴上受影响、具有随机性的事物，无不遵循这一规律。只要数据足够大， 人类的身高或者智商， 都有趋于平均值的回归性 ，这就是我们熟悉的 “大数定律” 。举个栗子，大型医院里每年同一性别婴儿的出生率会比小型医院的更接近50%，你觉得呢？
“少数服从多数” 原则简单明了，看似公平，但也 仅在涉及两种观点时才能取得最佳效果 ， 只要观点多于两种，众口难调，大多数人的喜好就会有自相矛盾的地方 。所以可以这样说， 民意是根本不存在的东西 ，更准确地讲， 只有在大多数人意见一致时民意才会存在。 如果按照逻辑办事，就经常需要违背大多数人的意见，对于政治家来说，对不一致的民意进行合理运用才是职责所在，只需让大部分人满意就可以了。
彩票的购买价值和获奖价值是不同的，购买价值是你购买一张彩票所用的金额，而 获奖价值是引入概率论之后彩票的真正价值 ，我们可以用 期望值 来表达。一个彩票的期望值只有在低于购买价值的时候才是不值得购买的，如果高于购买价值，当你的购买量达到一定数量的时候，彩票是值得购买的。
数学思维其实是我们的一种本能，与语言其实是同宗同源的 。我们的祖先曾经生活在树上，经常需要在树枝间跳来跳去，他们需要很好的三维空间意识。当他们到了开阔的草原上，需要判断距离的远近，这就要求有二维空间意识。随着他们的生存环境变得越来越复杂，我们的祖先开始具有判断因果关系的意识。但是，为什么自然而然出现的数学思维，最终并没有固化到我们的日常思维中呢？为什么我们大部分人还是觉得数学太难了呢？这里的关键是 抽象 。
抽象是数学的箱中最具有威力的。只要有机会，数学家就会尝试抽象。到最后，他们就会彻底忘掉真实世界，专注于抽象的定义和概念。 所以作者才会说，孩子们开始放弃对数学的学习有两个时刻，一是接触到分数的时刻，一是学习代数的时候，是两次阶跃性的抽象过程。 抽象可以分为四个层次，“眼见为实”、“想到为实”、“眼见为虚”、“想到为虚”。 最后一种， “想到为虚”才是数学思维的层次。数学对象是全然抽象的，它们同现实世界没有简单或者是直接的联系。数学，是一种在抽象之上再抽象的层次 ，比如我们最早在加减法接触到交换律和结合律，延伸到乘法，再到几何，再到函数、集合、矩阵，如果学的数学系，还会考虑在什么时候下，群能满足交换律。 数学的本质是一以贯之的，它就是一种关于模式的科学，有的模式相对简单，有的模式相对复杂，复杂的模式不过是模式的模式，甚至是模式的模式的模式 ，于是，我们就开始糊涂了。 我们可以把数学设想为一个由乐高积木搭成的雄伟建筑。尽管看起来非常复杂，但如果仔细去看，你会发现它是由一个一个简单的模块拼装起来的。数学的本质思想就是简单的东西是复杂的，而复杂的东西其实是简单的。 这就回到这本书的主题了，我们为什么要学习简单而深奥的数学知识。
看过 “拉弗曲线” ，就能理解税率与政府之间的关系；知道 “线性中心主义” ，才清楚 “按比例换算” 原来那么荒谬； “大数定律” 就是那只不讲情面的、无法抗拒的手； “比盘子还大的饼状图” 反映了“真实但是不准确”的数字错位……这些数学常识告诫我们，必须要注意数学出现的场合，离开了附着的情境，数学就会成为有心人的，政治选票、市场数据、盈利报告，这种那种，它们往往用繁琐的、累叠的数字来包裹，能够破解它们的就是数学思维培养出的洞察力，这就是作者想要告诉我们的。
以上。
数学一直是我上学时代的最爱，步入社会后发现没有好像没有啥作用，但是读了魔鬼数学后，改变了我的想法。全书从线性、推理、期望值、回归和存在五个方面环环相扣，逐步深入，妙趣横生的指引我们收服数学这头折磨我们的“魔鬼”。
首先是克服畏难心理。这头“魔鬼”并不会打你、咬你，要好好看清它的长相，了解它的功用，这样一来，你便清楚只要学会它的语言，就可以命令它给你服务。虽然很多人觉得数学的符号体系和抽象性让人难以理解，但这一堆高度抽象化的符号，与我们平时的思维并没有什么不同。
其次就需要建立数学和现实生活经验的联系。要解决这个问题，就不能满足于在课堂内的学习，还要增谨核嫌进阅读量，了解科技的前沿发展，并积极思考，力图用已掌握的数学知识来解释现实中遇到的问题，假如，我们在玩押大小、赢筹码的游戏。已经连续7次都是大局，那么第8次出现大的几率是否会更大呢？直觉向我们传递的信息是，连续多次大，那么下一次出现大的几率就高。然而数学告诉我祥手们，每次开局，出现大小的几率都是相同的氏塌。前一句如何并不会影响后续的结局。如果不能清醒的认识随机性原理，不信邪的赌徒，或许会因为连续的非理性决策而损失惨重。
像这种导致人们作出非理性判断的直觉还有很多，就像很多人会觉得越有钱就会越快乐，然而，当收入超过生活成本一定程度的时候，人们所获得的满足感（快乐）是递减的，在经济学中叫边际效用递减，在数学领域中，最简单的解释为“非线性思维”。“非线性思维表明，正确的前进方向取决于你所在的位置”。相比较而言，越有钱越快乐就是典型的线性思维，即是指两个变量之间的变化是恒定的，这绝对是种一劳永逸的懒人思维。
数学是一种人类的认知方式和，它可以让我们更好地思考，它可以磨炼我们的直觉，让我们的判断更敏锐；它还可以驯服不确定性，让我们更深入的了解世界的结构和逻辑。拥有了数学，我们就可以把那些我们想当然的事情看得更透彻，从而做出正确的决策。
