全国高中数学竞赛题？一、选择题(每小题6分, 共36分)⎛cos α⎫⎛cos β⎫1．设函数 f (x ) = sin β⎪⎪+ sin α⎪， α、β为锐角，如果对任意x ＞0，那么，全国高中数学竞赛题？一起来了解一下吧。
2007年全国高中数学联合竞赛加试试题及参考答案 (考试时间：120分钟满分150分)一、(本题满分50分)如图，在锐角△ABC中，AB A. B. C. D. 2. 空间四点A、B、C、D，满足 、 、 、 ，则 的取值 A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 1. 使关于x的不等式 有解的实数k的最大值是 D. 有无穷多个 3. △ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点，则 的值是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 如图，ABCD－A'B'C'D'为正方体，任作平面α与对角线AC'垂直，使α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则 A. S是定值，l不是定值 B. S不是定值，l是定值 C. S、l均是定值 D. S、l均不是定值 5. 方程 表示的曲线是 A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在x轴上的双曲线 C. 焦点在y轴上的激丛椭圆 D. 焦点在y轴上的双曲线 6. 记集合 ， ，将M中的元素按从明弊樱大到小顺序排列，则第2005个数是 A. B. C. D. 二、填空题 7. 将多项式 表示为关于y的多项式 ，卜逗且 ，则 =__________。 8. f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若 成立，则实数a的取值范围是_____________。 2004年北京市中学生数学竞赛试题 2004年南昌市高中数学竞赛试题 2004年福建省高一数学竞赛试题 2004年湖南省高中数学竞赛试题 2004年江西省高中女子数学竞赛试题 2004年上海市高中数学竞赛试题 2004年全国高中数学联赛吉林赛区初赛试题 2004年全国高中数学联赛广西初赛试题 2004年全国高中数学联赛四川省初赛试题 2004年全国高中数学联赛河南省预赛试题 2004年全国高中数学联赛天津初赛试题 2004年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题 2004年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题 2004年安徽省高中数学竞赛初赛试题 首届中国东键携南地区数学奥林匹克试题 第三届中国女子数学奥林匹克试题 第四届中国西部数学奥林匹克试题 2004年全国高中数学联赛试题 2004年中国数学奥林匹克试题 2004年中国国家集训队测试试题 2004年IMO中国国家队选拔考试试题 2005北京市中学生数学竞赛试题（高一年级） 2005年全国高中数学联赛天津赛区初赛试题 2005年上海市高中数学竞赛试题 2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 2005年全国高中数学联赛浙江省预赛试题 2005年全国高中数学联赛江西省预赛试题 2005年湖南省高中数学竞赛试题（高二年级） 2005年全国高中数学联赛吉林赛区预赛试题 2005年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题 2005年全国高中数学联赛四川初赛试题 2005年全国高中数学联赛福建赛区预赛薯神试题 2005年中国数学奥林匹克协作体夏令营测试试题 2005年中国数学奥林匹克协作体夏令营A水平测试题 2005年南昌市高中数学竞赛试题 2005年福建省高一数学竞赛试题 2005年全数亮亏国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题 2005年河南省数学竞赛试题（高二年级） 2005年安徽省高中数学竞赛初赛试题 第二届中国东南地区数学奥林匹克试题 第五届中国西部数学奥林匹克试题 第四届中国女子数学奥林匹克试题 2005年北方数学奥林匹克试题 2005年全国高中数学联合竞赛试题 2005年中国数学奥林匹克试题 2005年国家集训队测试题 2005年IMO中国国家队选拔考试试题 高中数学竞赛学的知识范围有平面几何、代数、初等数论、组合问题。 一、考试内容如下： （友巧顷全国高中数学联赛一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》。此外，全国高中数学联赛（二试）在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容。 二、考试知识点解析： 1、平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形旁心、费马点、欧拉线；几何不等式；几何极值问题；几何中的变换：对称、平移、旋转；圆的幂和根轴：面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法 2、代数 周期函数，带绝对值的函数；三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式；第二数学归纳法；平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用；复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理；函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。 2011年全国高中数学联赛江西省预赛 试题 一、填空题（每小题10分，共 分） 、 是这样的一个四位数，它的各位数字之和为 ；像这样各位数字之和为 的四位数总共有 个． 、设数列 满足: ,且对于其中任三个连续项 ,都有: .则通项 ． 、以抛物线 上的一点 为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形 与 ，则线段 与 的交点 的坐标为． 、设 ，则函数 的最大值是 ． 、 ． 、正三棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，过点 作与侧棱 都相交的截面 ，那么， 周长的最小值是 ． 、满足 的一组正整数． 、用 表示正整数 的各位数字之和，则． 二、解答题（共 题，合计 分） 、（20分）、设 ，且满足： ，求 的值． 、（ 分）如图， 的内心为 ， 分别是 的中点， ，内切圆 分别与边 相切于 ；证明禅轿： 三线共点． 、（ 分）在电脑屏幕上给出一个正 边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色；某程序执行这样的操作：每次可选中多边形连续的 个顶点（其中 是小于 的一个固定的正整数），一按鼠标键，将会使这 个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑； 、证明：如果 为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成白色，也可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成黑色； 、当 为偶裂袭键数时，是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色？证明你的结论． 解答 、 ．提示：这种四位数 的个数，就是不定方程 满足条件 ， 的整解的个数；即 的非负整解个数，其中 ，易知这种解有 个，即总共有 个这样的四位数．（注：也可直接列举．） 、 ． 提示：由条件得， ， 所以 ， 故 ，而 ； ； 于是 ； 由此得 . 、 ．提示：设 ，则 ， 直线 方程为 ， 即 ，因为 ，则 ， 即 ， 代人方程得 ， 于是点 在直线 上； 同理，若设 ，则 方程为 ， 即点 也在直线 上，因此交点 的坐标为 ． 、 ．提示：由 所以， ， 即 ， 当 ，即 时取得等号． 、 ．提示： ． 、 ．提示：作三棱锥侧面展开图，易知 ∥ ，且由周长最小，得 共线，于是等腰 ， ， ， 即 ， ， ， 所以 ，由 ，则 ． 、 ．提示：由于 是 形状的数，所以 必为奇数，而 为偶数， 设 ， ，代人得 ， 即 . ① 而 为偶数，则 为奇数，设 ，则 ， 由①得， ， ② 则 为奇数，且 中恰有一个是 的倍数，当 ，为使 为奇数，且 ，只有 ，②成为 ， 即 ，于是 ； 若 ，为使 为奇数，且 ，只有 ，②成为 ，即 ，它无整解； 于是 是唯一解： ． （另外，也可由 为偶数肆巧出发，使 为 的倍数，那么 是 的倍数，故 是 形状的偶数，依次取 ，检验相应的六个数即可．） 、 ．提示：添加自然数 ，这样并不改变问题性质；先考虑由 到 这一千个数，将它们全部用三位数表示，得到集 ，易知对于每个 ，首位为 的“三位数”恰有 个： ， 这样，所有三位数的首位数字和为 . 再将 中的每个数 的前两位数字互换，成为 ，得到的一千个数的集合仍是 ， 又将 中的每个数 的首末两位数字互换，成为 ，得到的一千个数的集合也是 ，由此知 ． 今考虑四位数：在 中，首位（千位）上，共有一千个 ，而在 中，首位（千位）上，共有一千个 ，因此 ； 其次，易算出， . 所以， ． 、由 ， 即 ， 平方得 所以 ， 即 ， 所以 ． 、如图，设 交于点 ，连 ，由于中位线 ∥ ，以及 平分 ，则 ，所以 ，因 ，得 共圆．所以 ；又注意 是 的内心，则 . 连 ，在 中，由于切线 ，所以 ， 因此 三点共线，即有 三线共点． 、 证明：由于 为质数，而 ，则 ，据裴蜀定理，存在正整数 ，使 , ① 于是当 为奇数时，则①中的 一奇一偶． 如果 为偶数， 为奇数，则将①改写成： ， 令 ，上式成为 ，其中 为奇数， 为偶数． 总之存在奇数 和偶数 ，使①式成立；据①， ,② 现进行这样的操作：选取一个点 ，自 开始，按顺时针方向操作 个顶点，再顺时针方向操作接下来的 个顶点……当这样的操作进行 次后，据②知，点 的颜色被改变了奇数次（ 次），从而改变了颜色，而其余所有顶点都改变了偶数次（ 次）状态，其颜色不变；称这样的 次操作为“一轮操作”，由于每一轮操作恰好只改变一个点的颜色，因此，可以经过有限多轮这样的操作，使所有黑点都变成白点，从而多边形所有顶点都成为白色；也可以经过有限多轮这样的操作，使所有白点都变成黑点，从而多边形所有顶点都成为黑色． 、当 为偶数时，也可以经过有限多次这样的操作，使得多边形所有顶点都变成一色．具体说来，我们将有如下结论： 如果给定的正多边形开初有奇数个黑点、偶数个白点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全黑，而不能变成全白；反之，如果给定的正多边形开初有奇数个白点、偶数个黑点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全白，而不能变成全黑； 为此，采用赋值法：将白点改记为“ ”，而黑点记为“ ”，改变一次颜色，相当于将其赋值乘以 ，而改变 个点的颜色，即相当于乘了 个（偶数个） ，由于 ； 因此当多边形所有顶点赋值之积为 ，即总共有奇数个黑点，偶数个白点时，每次操作后，其赋值之积仍为 ，因此无论操作多少次，都不能将全部顶点变白． 但此时可以变成全黑，这是由于，对于偶数 ，则①②中的 为奇数，设 是多边形的两个相邻顶点，自点 开始，按顺时针方向操作 个顶点，再顺时针方向操作接下来的 个顶点……当这样的操作进行 次后，据②知，点 的颜色被改变了偶数次（ 次），从而颜色不变，而其余所有 个顶点都改变了奇数次（ 次）状态，即都改变了颜色；再自点 开始，按同样的方法操作 次后，点 的颜色不变，其余所有 个顶点都改变了颜色；于是，经过上述 次操作后，多边形恰有 两个相邻顶点都改变了颜色，其余所有 个点的颜色不变． 现将这样的 次操作合并，称为“一轮操作”；每一轮操作，可以使黑白相邻的两点颜色互换，因此经过有限轮操作，总可使同色的点成为多边形的连续顶点； 于是当多边形开初总共有偶数个白点时，每一轮操作又可将相邻两个白点变成黑点，使得有限轮操作后，多边形所有顶点都成为黑色． 同理得，如果给定的正多边形开初总共有奇数个白点、偶数个黑点，经过有限次操作，可以使多边形顶点变成全白，而不能变成全黑；（只需将黑点赋值为“ ”，白点赋值为“ ”，证法便完全相同）． 以上就是全国高中数学竞赛题的全部内容，2011年全国高中数学联赛江西省预赛 试 题 一、填空题（每小题10分，共 分）、 是这样的一个四位数，它的各位数字之和为 ；像这样各位数字之和为 的四位数总共有 个．、。数竞生能秒杀高考数学吗
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