目录高中圆锥曲线题型及解题方法 圆锥曲线解题18种方法 圆锥曲线题型归纳及解题技巧 高中数学圆锥曲线情境题 高中数学圆锥曲线题型及归纳
1、数列问题
（1)熟练掌握等差、等比数列的性质、通项公式和求和公式；
（2)深刻理解课本上等差和等比数列求和公式是怎么推导出来的，其中蕴含的如“倒序相加”等解题思想是解题中经常用喊御到的；
（3)熟练掌握将分母代数式连乘的分数转化成单项分式差，实现“消去中间，剩下两头”的题型；
（4)熟练掌握从现有数列（如{An})中抽取满足某个条件的若干项,组成一个新数列(如{Ank}），然后求新数列的通项和前多少项和的题型；
（5)熟练掌握通过化简或待定系数法，将不规则数列“凑”成等差或等比数列来解题的题型；
（6)熟练掌握数学归纳法的原理并应用它解决个别“先猜测再证明”的探究类题型。
（7)熟练掌握数列求极限的题型，尤其是通过化简让分母的指数比分子的指数高，以便n无穷大的时候分式等于0
2、圆锥曲线问题
（1)熟练掌握圆锥曲线的几何定义和准线定义，深刻理解“数形结合”的思想，这是解析几何的灵棚历魂和精髓：用代数思想研究几何问题，实现定量求解；
（2)熟练运用圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的普通方程求解线段、点到线的距离和两条线的夹角等问题；
（3)熟练运用圆锥曲线的参数方程辅助解题，尤其是椭圆和双曲线的参数方程跟三角函数结合非常紧密，而且三角函数的有界性又跟不等式求最大最小值关系密切。
（4)由于平面解析几何解决的是平面内的问题，如果在求解立体几何中的问题中，我们能确证点到面的距离或二面角可以在某个平面内解决，但从纯几何角度不容易记计算，这时候我们可以在立体图的某个面建立坐标系，把立体几何中的问题转化成平面解析几何的问题（点到线的距离，线的夹角）来求解，有时候这样效果很好。
顺便说一下，下面几个“数学思想”在平时考试和高考中尤为重要：
（1)方程的思想：从形式上变未知为已知，然后找出关系，求出这个形式上的已知得解；
（2)不等式的思郑和岩想：利用不等式进行放大和缩小来判断变量或表达式的极限，求解最大、最小值；
（3)函数的思想：把现实问题抽象成代数问题，根据变量的范围动态考察函数规律的变化规律；
（4)数形结合的思想：充分利用图像的直观、形象性辅助分析和计算；
（5)分类讨论的思想：体现理性思维的严密性，具体情况具体分析。
（6)反证法的思想：逆向思维，从相反的角度看问题；
（7)数学归纳思想：根据有限的数据试图探寻总体的规律，然后用归纳法验证猜测的正确性。
1、牢记核心知识
核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。
2、计算能力与速度
计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提敏大升的。后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。
当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。
3、思维套路
拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。
一设：设直线与圆锥曲线
的两个交点，坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线方程为y=kx+b。
二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。
三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。
走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设粗春而不求，将弦所在直线的
斜率、弦的中点坐标联岩拿耐系起来，相互转化．总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。
4、圆锥曲线解题方法技巧归纳
导语：定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比值）称为圆锥曲线的离心率；焦点到准线的距离称为焦准距；焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径，物理学中又称为正焦弦。
第一、圆锥曲线的解题方法：
一、求圆锥曲线方程
（1）轨迹法：设点建立方程，化简证明求得。
例题：动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x=—5的距离少2。求动点P的轨迹方程。
解析：依题意可知，{C}，由题设知{C}，{C}{C}。
（2）定义法：根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状。
上述例题同样可以由定义行判枣法求出曲线方程：作直线x=—3，则点P到定点A与到定直线x=—3的距离相等，所以点P的轨迹是以A为焦点，以x=—3为准线的抛物线。
（3）待定系数法：通过题设条件构造关系式，待定参数即可。
例1：已知点（—2，3）与抛物线{C}的焦点的距离是5，则P=_____。
解析：抛物线{C}的焦点为{C}，由两点间距离公式解得P=4。
例2：设椭圆{C}的右焦点与抛物线{C}的焦点相同，离心率为{C}，则椭圆的方程为_____。
解析：抛物线{C}的焦点坐标为（2，0），所以椭圆焦半径为2，故离心率{C}得m=4，而{C}，所以椭圆方程为{C}。
二、圆锥曲线最值问题
（1）化为求二次函数的最值
根据已知条件求出一个参数表示的二次函数解析式，用配方法求出在一定范围自变量下函数的最值。
例题：曲边梯形由曲线{C}及直线x=1，x=2所围成，那么通过曲线上哪一点作切线，能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。
解析：设切点{C}，求出切线方程{C}，再求出这条切线与直线x=1，x=2的交点纵坐标，根据梯形面积公式列出函数关系式：梯形面积={C}，从而得出结论。
（2）利用圆锥曲线性质求最值
先利用圆锥曲线的定义性质列出关系式，再用几何或代数方法求最值。
例题：已知双曲线{C}的右焦点为F，有一点A（9，2）。试在双曲线上求一点M，使{C}的值最小。
解析：设点M到对应准线的距离为d，由双曲线的第二定义有d={C}，{C}》点A到点M对应准线的距离{C}（点A在对应准线上的投影为点A’）档拆。所以当且仅当点M为AA’与双曲线右支的交点时，{C}的值最小。
（3）化为一元二次方程，用根的判别式求最值
将最值问题转化为含有一个未知量的一元二次方程，利用根的判别式求未知量范围求解。
例题：直线y=x+9，椭圆C焦点为F1（—3，0），F2（3，0），求与直线有公共点M的椭圆中最短长轴。
解析：直线与椭圆有公共点，根据题意可联立方程组{C}
{C}，
由条件得{C}，所以椭圆的最短长轴为{C}。
（4）利用不等式求最值
列出最值满足的关系式，利用平均值不等式中等号成立的条件求最值。在使用平均值不等式求最值时要满足三个条件：①每一项都要取正值；②不等式的一边为常数；③等号能够成立。
例冲游题：定长为3的线段AB的两个端点在抛物线{C}上移动，M为AB的中点，则M到y轴的最短距离。
解析：设点A{C}，点B{C}，{C}，
{C}，当且仅当{C}时取得最小值。所以{C}，点M到y轴距离最小值为{C}。
三、直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判
别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
例题1：过点（2，4）作直线与抛物线{C}只有一个公共点，这样的直线有____条。
解析：由于点（2，4）在抛物线上，其次只有一个公共点，包括直线平行于抛物线的对称轴，和抛物线交于一点的直线，故有2条。
例题2：直线y=kx+1与椭圆{C}恒有公共点，则m的取值范围是_____。
解析：直线与椭圆恒有公共点，所以联立方程{C}恒成立，即{C}恒成立，所以{C}且{C}。
四、求参数的取值范围
与圆锥曲线有关的参数范围问题常用两种解法：
（1）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围。
（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域求参数的变化范围。
例题：已知点A（2，0）和抛物线{C}上两点B、C，使得AB⊥BC，求点C纵坐标的取值范围。
解析：由于B、C是抛物线上两个相关的点，所以可通过B点纵坐标的'范围建立关于C点纵坐标的不等式求解。设点B{C}，点C{C}，{C}，{C}，
{C}，{C}，{C}，{C}，{C}。
解得{C}或{C}。
五、动点轨迹方程
（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系{C}；
如：已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求P点的轨迹方程。根据题意直接列式：{C}。
（2）待定系数法：已知所有曲线的类型，根据条件设出所求曲线的方程，再由已知条件确定其待定系数。
如：线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）（m>0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，求此抛物线的方程。
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。
（4）代入转移法：动点{C}依赖于另一动点{C}的变化为变化，并且{C}又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示{C}，再将{C}代入已知曲线求得轨迹方程。
（5）参数法：当动点{C}坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量（参数）表示，得到参数方程，再消去参数得轨迹方程。
六、定点定值问题
在几何问题中，有些几何量和参数无关，从而构成定值问题，解决这类问题长用取参数和特殊值来确定定值的多少，或将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。这类问题通常有两种出来方法：
（1）从特殊入手，求含变量定点定值，再证明这个定点定值与变量无关。
（2）直接推理、计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定点定值。
例题：过抛物线{C}的焦点F作直线l交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p，q，则{C}的值必等于_____。
解析：
①令直线与x轴垂直，则直线l：{C} {C}，{C}。
②设{C}，{C}且PM，QN分别垂直于准线于M，N。
{C}，{C}，{C}的焦点{C}，准线{C}，所以直线l：{C}，又因为直线l与抛物线相交，故联立方程组得：{C}，{C}，{C}
{C}，{C}，{C}。
第二、圆锥曲线的七种题型归纳：
（1）中点弦问题
（2）焦点三角形问题
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题
（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题
（5）求曲线的方程问题
（6）存在两点关于直线对称问题
（7）两线段垂直问题
第三、 圆锥曲线的八大解题方法：
1、定义法
2、韦达定理法
3、设而不求点差法
4、弦长公式法
5、数形结合法
6、参数法（点参数、K参数、角参数）
7、代入法中的顺序
8、充分利用曲线系方程法
【数学圆锥曲线解题技巧】
1.客观题部分
例1 (新课标2·2015)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )。
A。5 B。2 C。3 D。2
解析 该题的核心知识点有两个：等腰三角形的性质;双曲线的标准方程和性质。①将双曲线方程设定为x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，如图;②因为AB=BM，∠ABM=120°，过点M作MN垂直于X轴，垂足为N，在Rt△BMN中，求得BN=a，MN=3a，M点的坐标为(2a，3a)，③根据双曲线方程、c2=a2+b2以及离心率e=ca(e>1)，可以求的c2=2a2，e=2，因此本题选D。本题涉及的基本思想方法是待定系数法。
2.主观题部分
首先，是数形结合的思想方法，这种思想方法特点在于将圆锥曲线从平面的角度视为一种运动中的轨迹，在此背景下，题目的考核目标往往是与轨迹相关的边缘域问题、定值问题、最值问题等。
例2 (山东·2015)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24a2+y24b2=1(a>b>0)的离心率为32，左、右焦点分别是F1和F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上。
(Ⅰ)求椭圆C的方程。
(Ⅱ)设椭圆E;x24a2+y24b2=1，p为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A和B两点，射线PO交椭圆E于点Q。
(ⅰ)求OQOP的值。
(ⅱ)求△ABQ面积的最大值。
解析 本题的核心知识点有：椭圆的定义;韦达定理与最值问题;椭圆与直线的位置关系问题。①根据椭圆的定义2a是定值，以及e=32，结合椭圆的标准方程求的a=2，b=1，因此椭圆的方程为C：x24+y2=1。②根据题意，设OQOP=λ，P(x0，y0)，则Q(-λx0，-λy0)。又x24a2+y24b2=1，所以将P和Q带入方程解得，λ=2，所以OQOP=2。③根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)。将y=kx+m带入方程x216+y24=1得到(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0，根据韦达定理，由Δ>0，m2<4+16k2(Ⅰ);x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-161+4k2，x1-x2=416k2+4-m21+4k2。因为直线y=kx+m与轴焦点的坐标为(0，m)，所以△ABO的面积为S=12mx1-x2=24-m21+4k2m21+4k2，令m21+4k2=t，由Δ≥0，可得m2≤1+4k2(Ⅱ)。由(Ⅰ)和(Ⅱ)可得，0与数形结合的思想方法相适应的题目类型有：圆锥曲线通过构造出的三角形关系，与直线、韦达定理、函数的最值问题等建立起逻辑关联，依靠代数法或几何法解题，其中涉及例如联立方程法、整体消元法等解题技巧，强化计算能力，助力高考。
其次，是化归、分类讨论以及函数与方程的思想方法，将这几种思想方法综合起来看，它主要强调考生通过建立起圆锥曲线与方程之间的关联，在简化思想模稿培瞎型的基础上，进行有效地推理与论证。建立在数形结合的基础上，分类锁定知识背景中的相关考点，化归简化思想路径，最终用代数转方程来表达圆锥曲线与关联对象之间的相互关系(例题略)。
总 结键空
在对圆锥曲线问题的解答中，需要考生灵活运用相关知识，综合性的考虑各种可行性方案与可能的因素，配合一定的解题技巧和计算能力给出答案。
【圆锥曲线公式大全】
1、椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质
2、判断椭圆是 x型还是y型只要看x对应的分母大还是y2对应的分母大，若x对应的分母大则x型，若y2对应的分母大则y型.x2y2
3、求椭圆方程一般先判定椭圆是x型还是y型，若为x型则可设为2?2?1，若为yaby2x222
型则可设为2?2?1，若不知什么型且椭圆过两点，则设为稀里糊涂型：mx?ny?1ab
4、双曲线的定义、双曲线的标准方程、椭圆的性质
2、判断双曲线是 x型中雀还是y型只要看x前的符号是正还是y前的符号是正，若x前的符号为正则x型，若y前的符号为正则y型，同样的，哪个分母前的符号为正，则哪个分母就为a22x2y2
3、求双曲线方程一般先判定双曲线是x型还是y型，若为x型则可设为2?2?1，若aby2x2
为y型则可设为2?2?1，若不知什么型且双曲线过两点，则设为稀里糊涂型：abmx2?ny2?1(mn?0)
6、若已知双曲线一点坐标和渐近线方程y?mx，则可设双曲线方程为y2?m2x2??(??0)，而后把点坐标代入求解
7、椭圆、双曲线、抛物线与直线l:y?kx?b的弦长公式：AB?? 8、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题出现弦的中点往往考虑用点差法
9、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题的解题步骤：
(1)假化成整(把分式型的椭圆方程化为整式型的椭圆方程)，联立消y或x
(2)求出判别式，并设点使用伟大定理
(3)使用弦长公式
1、抛物线的定义：平面内有一定点F及一定直线l (F不在l上)P点是该平面内一动点，当且仅当点P到F的距离与点P到直线l距离相等时，那么P的轨迹是以F为焦点，l为准线的一条抛物线.————见距离想定义!!!
2、(1)抛物线标准方程左边一定是x或y的平方(系数为1)，右边一定是关于x和y的一次项，如果抛物线方程不标准，立即化为标准方程!
(2)抛物线的一次项为x即为x型，一次项为y即为y型!
(3)抛物线的焦点坐标为一次项系数的四分之一，准线与焦点坐标互为相反数!一次项为x，则准线为”x=多少”， 一次项为y，则准线为”y=多少”!
(4)抛物线的开口看一次项的符号，一次项为正，则开口朝着正半轴，一次项为负，则开口朝着负半轴!
(5)抛物线的题目强烈建议画图，有图有真相，无图无真相!
23、求抛物线方程，如果只知x型，则设它为y?ax (a?0),a>o,开口朝右;a<0,开口朝左;2如果只知y型，则设它为x?ay(a?0),a>o,开口朝上;a<0,开口朝下。
4、抛物线简单的几何性质：
(尤其对称性的性质要认真研究应用，经常由线对称挖掘出点对称，从而推出垂直平分等潜在条件!)
1、 抛物线的焦点弦，设P(x1,y1),Q(x2,y2)，且P,Q为抛物线y2?2px经过焦点的一条弦：p2
(1)P(x1,y1),Q(x2,y2)两点坐标的关系：y1y2??p,x1x2? 42
(2)焦点弦长公式：PQ?(x1?x2)?p=2p(其中?为直线PQ的倾斜角大小) 2sin?
(3)垂直于对称轴的焦点弦称为是通径，通径长为2p
5、(1)直线与椭圆一个交点，则直线与椭圆相切。
(2)直线与双曲线一个交点，则考虑两种情况：第一种是直线与双曲线相切;第二种是直线与双曲线的渐近线平行。
(3)直线与抛物线一个交点，则考虑两种情况：第一种是直线与抛物线相切;第二种是直线与抛物线的对称轴平行。
(4)直线与抛物线的位置关系，理论上由直线方程与抛物线方程的联立方程组实解的情况来确定，实践中往往归纳为对相关一元二次方程的判别式△的考察：直线与抛物线交于不同两点??>0;直线与抛物线交于一点???0 (相切)或直线平行于抛物线的对称轴; 直线与抛物线不相交???0
6、判断点与抛物线、椭圆位置关系：先把方程化为标准式，而后把点代入，若大于，线外，等于线上，小于线内。
7、在研究直线与双曲线，直线与椭圆，直线与抛物线位置关系时，若已知直线过一个点(x0,y0)时，往往设为点斜式：y?y0?k(x?x0)，但是尤其要注意讨论斜率不存在的情况!!!斜率不存在则设为x?x0.
11、用点差法解决双曲线的弦的中点问题，一定要记得把所求出的直线方程与双曲线方程联立消去y求出判别式，检验判别式如果小于0，则直线不存在!!!
1、 椭圆上的一点到椭圆焦点的最大距离为a?c，最小距离为a?c，椭圆上取得最大
距离和最小距离的点分别为椭圆长轴的两个顶点。
2、 判断过已知点的直线与抛物线一个交点直线条数：
(1) 若已知点在抛物线外，则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有三条：相切两条，与对称轴平行一条。
(2) 若已知点在抛物线上，则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有两条：相切一条，与对称轴平行一条。
(3) 若已知点在抛物线内，则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有一条：相切0条，与对称轴平行一条。
(1) 动点的轨迹方程。
3、 求点的轨迹的五个步骤：
(1) 建立直角坐标系(在不知点坐标的情况下)。
(2) 设点：求什么点的轨迹就只能把该点设为(x,y),不能设为其它形式的坐标!!!
(3) 根据直接法、代入法、定义法列出x和y的关系式。
(4) 化简关系式。
(5) 看看题目有没有什么限制条件，根据限制条件写出x或y 的范围!!!易错!!!
7、过椭圆内部的一个点的直线必与椭圆相交，过双曲线或抛物线内部的一个点的直线与双曲线或抛物线至少有一个交点：与双曲线的渐近线平行，一个交点;不平行，两个交点;与抛物线的对称轴平行，一个交点;不平行，两个交点。
圆锥曲线一上来就考虑联立方程组，算出判别式，写出X1+X2，X1*X2，这样就算你这芦亩道题不会做，做到这儿一般能拿陪纳森到6—8分，步骤分还要根据题的难易程茄庆度。你做题可以试试，保证屡试不爽。
