希望杯数学竟赛试试题？71．在100∽1999这一千九百个自然数中，十位与个位数字相同的共有＿＿个。72，有人问毕达哥拉斯，他的学校中有多少学生，他回答说：“一半学生学数学，四分之一学音乐，七分之一正休息，还剩三个女学生。”问毕达哥拉斯的学校中有多少学生？毕达哥拉斯的学校中有＿＿个学生。那么，希望杯数学竟赛试试题？一起来了解一下吧。
数学竞赛 第二届“希望杯”全国数学邀请赛 五年级第1试
1．0.4×〔÷2×（4.3-1.8）〕×26＝_____________。
2．根据规律填空：0.987654，0.98765，0.9877，0.988，___________，1.0。
3．一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是___________。
4.2004的约数中，比100大且比200小的约数是___________。
5．下边的加法算式中，每个“□”内有一个数字，所有“□”内的数字之和最大可达到。
6．甲、乙、丙三人掷骰子，每人掷三次，他们掷出的点数的积都是24。将每人掷出的点数的和由大到小排列，依次是甲、乙、丙，则点数3是___________掷出的。（点数：向上的一面上的数字。骰子的六个面上辩团的点数分别是1至6）
7．在一个四位数的某位数字的前面添上一个小数点，再和原来的四位数相减，差是1803.6，则原来的四位数是___________。
8．a，b，c都是质数，并且a＋b＝33，b＋c＝44，c＋d＝66，那么d＝___________
9．如果A◆B＝ ，那么1◆2－2◆3－3◆4－…－2002◆2003－2003◆2004＝___________。
一、选择题 (每小题5分．共50分 )
1 ．某班有30名男生和 20名女生．60%的男生和30％的女生参加了天文小组，该班参加天文小组的人数占全班人数的 ( )．
A．60％ B．48％ C．45％ D．30％
2.=( )
A ．－ B．－ C．－ D．－
3 ．数轴上的点A、 B、C分别对应数：0，－ 1．x，C与 A的距离大于C与B的距离，则 ( )．
A ．x>0 B． x>－1 C． x<- D ．x<－ 1
4 ．对任意的三个整数．则( )．
A 它们的和是偶数的可能性小 B．它们的和是奇数的可能性小
C ．其中必有两个数的和是奇数 D．其中必有两个数的和是偶数
5 ．油箱装满油的一辆汽车在匀速行驶．当汽油愉剩油箱体积的一半时就加满油．接着义按原速度行驶，到目的地时油箱中还剩有 体积的汽油．设油箱中所剩汽油量为 V(升)，时间为t(分钟 )．则V与t的图象是 ( )．
6 ．将长为12的线段截成长度为整数的三段，使它们成为一个三角形的三边，则构成的三角形 ( )．
A 不可能是等腰三角形 B．不可能是直角三角形
C ．不可能是等边三角形 D．不可能是钝角三角形
7 ．有一个最多能称16 kg的弹簧秤，称重时发现，弹簧的长度 (cm)与物体的重量(kg)之间有一定的关系．根据下表考虑：在弹簧称重范围内．弹簧最长为 ( )cm
重量 (kg)
0 ．5
1 ．O
1 ．5
2 ．O
2 ．5
3 ．O
长度 (cm)
5 ．5
6 ．0
6 ．5
7 ．0
7 ．5
8 ．0
A．18 16．19 C．20 D． 21
8 ．If(a)= for all integers(整数) a，and b=<8)， then(b) is( )．
A．36 13．72 C．666 D．1332
9 ．有一串数：－2003，－ 1999，－1995，－1991……按一定的规律排列，那么这串数中前 ( )个数的和最小．
A．500 B．501 C．502 D．503
1O ．“希望杯 ”四校足球邀请赛规定：
(1)比赛采用单循环赛形式；
(2)有胜负时，胜队得3分，负队得 O分；
(3)踢平时每队各得1分．
比赛结束后，四个队各自的总得分中不可能出现 ( )．
A ．8分 B． 7分 C． 6分 D． 5分
填空题(每小题5分．共 50分)
11 ．如果方程2003x+4a=2004a－ 3x的根是x=l，则a= ．
12 ．如图中的大、小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于 74平方厘米。
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http://www.aoshu.com/tiku/xiwangbei-1/第一到第七届的竞赛题全在这里了。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．函数 在 上的最小值是 （ C ）
A．0 B．1C．2 D．3
[解] 当 时， ，因此
，当且仅当 时上式取等号．而此方程有解 ，因此 在 上的最小值为2．
2．设 ， ，若 ，则实数 的取值范围为 （ D ）
A． B． C．D．
[解] 因 有两个实根
， ，
故 等价迅旁于 且 ，即
且 ，
解之得 ．
3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的期望 为（ B ）
A. B. C.D.
[解法一] 依题意知， 的所有可能值为2，4，6.
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有
，
，
，
故 ．
[解法二] 依题意知， 的所有可能值为2，4，6.
令 表示甲在第 局比赛中获胜，则 表示乙在第 局比赛中获胜．
由独立性与互不相容性得
，
，
，
故 ．
4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为（ A ）
A. 764 cm3或586 cm3B. 764 cm3
C. 586 cm3或564 cm3D. 586 cm3
[解] 设这三个正方体的棱长分别为 ，则有 ， ，不妨设 ，从而 ， ．故 ． 只能取9，8，7，6．
若 ，则 ，易知 ， ，得一组解 ．
若 ，则 ， ．但 ， ，从而 或5．若 ，则 无解，若 ，则 无解．此时无解．
若 ，则 ，有唯一解 ， ．
若 ，则 ，此时 ， ．故 ，但 ，故 ，此时 无解．
综上，共有两组解 或
体积为 cm3或 cm3．
5．方程组 的有理数解 的个数为（ B ）
A.1 B.2 C.3 D.4
[解] 若 ，则 解得 或
若 ，则由 得 ． ①
由 得 ． ②
将②代入 得 ． ③
由①得 ，代入③化简得 .
易知 无有理数根，故 ，由①得 ，由②得 ，与 矛盾，故该方程组共有两组有理数解 或
6．设 的内角 所对的边 成等比数列，则 的取值范围是
（ C ）
A. B.
C.D.
[解] 设 的公比为 ，则 ，而
．
因此，只需求 的取值范围．举辩
因 成等比数列，最大边只能是 或 ，因此 要构成三角形的三边，必需且只需 且 ．即有不等式组
即
解得
从而 ，因此所求的取值范围是 ．
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．设 ，其中 为实数， ， ， ，若 ，则 5 .
[解] 由题意知
，正昌缺
由 得 ， ，因此 ， ， ．
8．设 的最小值为 ，则．
[解]
，
(1)时， 当 时取最小值 ；
(2)时， 当 时取最小值1；
(3)时， 当 时取最小值 ．
又 或 时， 的最小值不能为 ，
故 ，解得 ， (舍去)．
9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222种．
[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用 表示名额．如
表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．
若把每个“ ”与每个“ ”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于 个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．
“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“ ”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有 种．
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．
综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．
[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为 ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程
．
的正整数解的个数，即方程 的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：
．
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．
综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．
10．设数列 的前 项和 满足： ， ，则通项 = ．
[解]，
即2
= ，
由此得 2 ．
令 ，( )，
有 ，故 ，所以 ．
11．设 是定义在 上的函数，若，且对任意 ，满足
， ，则 = ．
[解法一] 由题设条件知
，
因此有 ，故
．
[解法二] 令 ，则
，
，
即 ，
故 ，
得 是周期为2的周期函数，
所以 ．
12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ．
[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为 ，作平面 //平面 ，与小球相切于点 ，则小球球心 为正四面体 的中心， ，垂足 为 的中心．
因
，
故 ，从而 ．
记此时小球与面 的切点为 ，连接 ，则
．
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 )相切时的情况，易知小球在面 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为 ，如答12图2．记正四面体
的棱长为 ，过 作 于 ．
因 ，有 ，故小三角形的边长 ．
小球与面 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）
．
又 ， ，所以
．
由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 ．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．已知函数 的图像与直线 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为 ，求证：
．
[证] 的图象与直线 的三个交点如答13图所示，且在 内相切，其切点为 ， ．
…5分
由于 ， ，所以 ，即 ． …10分
因此
…15分
． …20分
14．解不等式
．
[解法一] 由 ，且 在 上为增函数，故原不等式等价于
．
即．…5分
分组分解
，
， …10分
所以，
． …15分
所以 ，即 或 ．
故原不等式解集为 ．…20分
[解法二] 由 ，且 在 上为增函数，故原不等式等价于
．…5分
即
，
，…10分
令 ，则不等式为
，
显然 在 上为增函数，由此上面不等式等价于
， …15分
即 ，解得( 舍去)，
故原不等式解集为 ．…20分
15．如题15图， 是抛物线 上的动点，点 在 轴上，圆 内切于 ，求 面积的最小值．
[解] 设 ，不妨设 ．
直线 的方程: ，
化简得．
又圆心 到 的距离为1，
， …5分
故 ，
易知 ，上式化简得 ，
同理有 ． …10分
所以 ， ，则
．
因 是抛物线上的点，有 ，则
， ． …15分
所以
．
当 时，上式取等号，此时 ．
因此 的最小值为8．
以上就是希望杯数学竟赛试试题的全部内容，第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试 以下每题6分，共120分。1、计算：1÷50+2÷50+……+98÷50+99÷50= 。2、2009年1月的月历如图所示，则2009年的“六一”儿童节是星期 。3、《希望杯数学能力培训教程（四年级）》一书有160页，在它的页码中，数字“2”共出现了 次。
