数学分析定理？这是调和级数的变形，是个发散的数列。当n→∞时前n项和应该是∞。可以用高等数学中的幂级数展开去证明其发散性,也可以简单地这么理解：已知1/3到1/2n+1显然有n个数（n=1,2,3）取后面n/2个数，那么，数学分析定理？一起来了解一下吧。
1、令F(t)=te^t-1
则F(0)=-1<0,F(1)=e-1>0
由介值定理知存在ξ∈(0,1)使得F(ξ)=0
即ξe^ξ-1=0=>ξ=e^(-ξ)
2、h(x)=x单增，g(x)=e^(-x)单减
且x=ξ处h(x)=g(x)。
故(0,ξ)上h(x)
故当x≠ξ时，x-ξ与e^(-x)-ξ异号
且令
f(x)=(x-ξ)/(e^(-x)-ξ)-1
=(x-e^(-ξ)-ξ+e^(-x))/(e^(-x)-ξ)
=[1/(e^(-x)-ξ)][(x+e^(-x))-(ξ-e^(-ξ))]，
且由于y=x+e^(-x)为以ξ为最小值点的对号函数（于(0,1)）
故(x+e^(-x))-(ξ-e^(-ξ))>0
当x<ξ时，(e^(-x)-ξ)>0;当x>ξ时，(e^(-x)-ξ)<0
故x<ξ时，|x-ξ|>|e^(-x)-ξ|，
正项数列yn=|xn-ξ|单减到0
{x(2n+1)}单增到ξ,{x(2n)}单减到ξ,{xn}收敛到ξ。
同理x>ξ时，
{x(2n)}单减到ξ，{x(2n+1)}单增到ξ，{xn}收敛到ξ。
证毕
海因一巴拿赫定理(Hahn-Banach theorem)凸集几何的基本定理.它是关于凸集与超平面的定理.它在泛函分析中有重要的应用。
其关键乃是超平面与线性形式之间有着对应关系.若X是仿射空间，A是X的一个非空凸开集，且1是X的一个仿射子空间，使得A门L=必，则存在X的一个超平面，它包含L，并且与A不相交。
在泛函分析中，巴拿赫定理是一个极为重要的。它允许了定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间，并说明了存在“足够”的连续线性泛函，定义在每一个赋范向量空间，使对偶空间的研究变得有趣味。
这是调和级数的变形，是个发散的数列。当n→∞时前n项和应该是∞。可以用高等数学中的幂级数展开去证明其发散性,也可以简单地这么理解：已知1/3到1/2n+1显然有n个数（n=1,2,3...）取后面n/2个数，即从1/n+2到1/2n+1,求和，Σ>(n/2)/(2n+1)=1/(4+(2/n))；当n→∞时，1/(4+(2/n))=1/4,即:Σ>1/4,不防设前n/2个数最后一位为1/2k+1，同理取前k/2个数，后k/2求和，同样有：Σ>1/4 由于n→∞，所以是可以无限划分的，每个1/2的累加都大于1/4, 相当于无穷多个1/4相加，可知该数列发散。实际上对于有限项n，其求和公式为：φ(n+(2/3))/2 +γ/2+ln2-1,其中φ函数=F'/F , F表示gamma函数
微分中值定理(即罗尔定理, 拉格朗日定理, 柯西定理, 泰勒定理)是数学分析上册最重要的内容之一, 想要学好中值定理, 首先要学习它们的证明方法, 需要强调的是拉格朗日中值定理与柯西中值定理均可由罗尔中值定理进行证明, 证明的方法为积分法, 这是构造辅助函数最基本的一种手段, 另外由此也可以看出罗尔中值定理的极端重要性.
1.罗尔中值定理的证明过程如下所示：
注意：罗尔中值定理是微分中值定理的基本，根据之后的积分法可知，拉格朗日中值定理和柯西中值定理是由罗尔中值定理证明的，也就是说，理论上，可以用拉格朗日中值定理或者柯西中值定理的题目，均可以由罗尔中值定理证明。
2.拉格朗日中值定理的证明过程如下所示：
3.柯西中值定理的证明过程如下所示：
经过以上三个微分中值定理的证明过程之后，我们会发现，在拉格朗日中值定理中如果f(a)=f(b),就是罗尔中值定理，在柯西微分中值定理中，如果g(x)=x,那么就成为了拉格朗日中值定理，我们就可以得出他们之间的关系为：拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一种特殊情况，同样，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情况。
定义1：设f在上有定义,若,则称f在点连续
定义2：若,则在点连续
定义3：若,使得时有,则称f在点连续
注：f在点连续即极限运算与对应法则f可交换,
例：证明函数在点连续,其中为Dirichlet函数
证：
定义：设f在内有定义,若,则称f在点右(左)连续
定理：f在点连续f在既是右连续又是左连续
定义：设f在内有定义,若f在点无定义,或f在点有定义而不连续,则称点为f的间断点或不连续点
1.f在点无定义或不存在
2.f在点有定义且存在,但
1.可去间断点
若,而f在点无定义,或有定义但,则称为f的可去间断点
设为函数f的可去间断点,且,定义一个函数
显然对于,是它的连续点
2.跳跃间断点
若f在点的左、右极限都存在,但,则称点为f的跳跃间断点
注：可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点,第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在
3.第二类间断点
函数的所有其他形式的间断点,即,使函数至少有一侧极限不存在的点
例：Dirichlet函数定义域R上每一点x都是第二类间断点
定义：若f在区间I上的每一点都连续,则称f为I上的连续函数
对于闭区间或半开半闭区间的端点,函数在这些点上连续是指左连续或右连续
定义：若f在区间[a,b]上仅有有限个第一类间断点,则称f在[a,b]上分段连续
例：证明Riemann函数
在(0,1)内任何无理点处都连续,任何有理点处都不连续
证：
以上就是数学分析定理的全部内容，定理：设函数 和 满足：1.在 上都连续 2.在 上都可导 3. 和 不同时为零 4.则 ,使得 证明：作辅助函数 显然 在 上满足罗尔定理条件 故 。
