初中数学竞赛试卷？(A) m + n = 10 (B) m + n = 5 (C) m = n = 10 (D) m = 2，n = 3 3．我省规定：每年11月的最后一个星期日举行初中数学竞赛，那么，初中数学竞赛试卷？一起来了解一下吧。
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．已知非零实数a，b 满足，则 等于（）．
（A）－1（B）0 （C）1 （D）2
【答】C．
解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为 ，于是 ，从而 ＝1．
2．如正扮图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）．
（A）（B）（C）1（D）2
【答】A．
解：因为△BOC ∽ △ABC，所以 ，即
，
所以，．
由 ，解得 ．
3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷两次，记第一次掷出的点数为 ，第二次掷出的点数为 ，则使关于x，y的方程组 只有正数解的概率为（ ）．
（A） （B）（C）（D）
【答】D．
解：当 时，方程组无解．
当 时，方程组的解为
由已知，得 即 或
由 ， 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得
共有 5×2＝10种情况；或 共3种情况．
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为 ．
4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB‖DC， .动点P从点
B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（ ）．
（A）10（B）16（C）18 （D）32
【答】B．
解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故
S△ABC＝ ×8×4＝16.
5．关于x，y的方程 的整数解（x，y）的组数为（）．
（A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组
【答】C．
解：可将原方程视为关于 的二次方程，将其变形为
．
由于该方程有整数根，则判别式 ≥ ，且是完全平方数．
由≥ ，
解得 ≤ ．于是
0 1 4 9 16
116 109 88 53 4
显然，只有 时， 是完全平方数，符合要求．
当 时，原方程为 ，此时 ；
当y＝－4时，原方程为 ，此时 ．
所以，原方程的整数解为
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km ．
【答】3750．
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km
磨损量碰掘为 ,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为 .又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有
两式相加，得 ，
则 ．
7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于举吵灶点H，则 的值为．
解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ．
由题设知 ， ，在△FHA和△EFA中，
，
所以Rt△FHA∽Rt△EFA，
.
而 ，所以.
8．已知 是满足条件 的五个不同的整数，若 是关于x的方程 的整数根，则 的值为 ．
【答】 10．
解：因为 ，且 是五个不同的整数，所有 也是五个不同的整数．
又因为 ，所以
．
由 ，可得 ．
9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为 的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于．
【答】 ．
解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ．
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且 ．
作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由 ，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF‖AC，所以
，
即 ，
解得 ．所以 ．
10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．
【答】 ．
解：设报3的人心里想的数是 ，则报5的人心里想的数应是 ．
于是报7的人心里想的数是，报9的人心里想的数是，报1的人心里想的数是，报3的人心里想的数是 ．所以
，
解得 ．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．已知抛物线 与动直线 有公共点 ， ，
且 .
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.
解：（1）联立 与 ，消去y得二次方程
①
有实数根 ， ，则 ．所以
= ＝ ．②
………………5分
把②式代入方程①得
． ③
………………10分
t的取值应满足
≥0， ④
且使方程③有实数根，即
＝ ≥0， ⑤
解不等式④得 ≤-3或 ≥1，解不等式⑤得≤ ≤ .
所以，t的取值范围为
≤ ≤ . ⑥
………………15分
(2) 由②式知 .
由于 在 ≤ ≤ 时是递增的，所以，当
时, . ………………20分
12．已知正整数 满足 ，且 ，求满足条件的所有可能的正整数 的和．
解：由 可得 ． ，且
．
………………5分
因为 是奇数，所以 等价于 ，又因为 ，所以 等价于 ．因此有 ，于是可得 ．
………………15分
又 ，所以 ．因此，满足条件的所有可能的正整数 的和为
11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分
13．如图，给定锐角三角形ABC， ，AD，BE是它的两条高，过点 作△ABC的外接圆的切线 ，过点D，E分别作 的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．
解法1：结论是 ．下面给出证明． ………………5分
因为 ，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得
．
同理可得．
………………10分
又因为 ，所以有 ，于是可得
． ………………20分
解法2：结论是 ．下面给出证明．
……………… 5分
连接DE，因为 ，所以A，B，D，E四点共圆，故
．………………10分
又l是⊙O的过点C的切线，所以 ． ………………15分
所以， ，于是DE‖FG，故DF＝EG．
………………20分
14．n个正整数 满足如下条件： ；
且 中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．
解：设 中去掉 后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数 ， ．即．
于是，对于任意的1≤ ≤n，都有
，
从而 ．………………5分
由于是正整数，故
． ………………10分
由于
≥ ，
所以， ≤2008，于是n ≤45.
结合 ，所以，n ≤9． ………………15分
另一方面，令 ，…， ，
，则这9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为9. ………………20分
抱歉，图弄不上来，你可以去参考网址自己下
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“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．已知非零实数a，b 满足，则 等于（）．
（A）－1（B）0 （C）1 （D）2
【答】C．
解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为 ，于是 ，从而 ＝1．
2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）．
（A）（B）（C）1（D）2
【答】A．
解返尘：因为△BOC ∽ △ABC，所以 ，即
，
所以，．
由 ，解得 ．
3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷两次，记第一次掷出的点数为 ，第二次掷出的点数为 ，则使关于x，y的方程组 只有正数解的概率为（ ）．
（A） （B）（C）（D）
【答】D．
解：当 时，方程组无解．
当 时，方程组的解为
由已知，得 即 或
由 ， 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得
共有 5×2＝10种情况；或 共3种情况．
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为 ．
4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB‖DC， .动点P从点
B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（ ）．
（A）10（B）16（C）18 （D）32
【答】B．
解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故
S△ABC＝ ×8×4＝16.
5．关于x，y的方程 的整数解（x，y）的组数为（）．
（A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组
【答纤祥】C．
解：可将原方程视为关于 的二次方程，将其变形为
．
由于该方程有整数根，则判别式 ≥ ，且是完全平方数．
由≥ ，
解得 ≤ ．于是
0 1 4 9 16
116 109 88 53 4
显然，只有 时， 是完全平方数，符合要求．
当 时，原方程为 ，此时 ；
当y＝－4时，原方程为 ，此时 ．
所以，原方程的整数解为
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km ．
【答】3750．
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km
磨损量为 ,安装在后轮的轮毁世搏胎每行驶1km的磨损量为 .又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有
两式相加，得 ，
则 ．
7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则 的值为．
解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ．
由题设知 ， ，在△FHA和△EFA中，
，
所以Rt△FHA∽Rt△EFA，
.
而 ，所以.
8．已知 是满足条件 的五个不同的整数，若 是关于x的方程 的整数根，则 的值为 ．
【答】 10．
解：因为 ，且 是五个不同的整数，所有 也是五个不同的整数．
又因为 ，所以
．
由 ，可得 ．
9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为 的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于．
【答】 ．
解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ．
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且 ．
作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由 ，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF‖AC，所以
，
即 ，
解得 ．所以 ．
10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．
【答】 ．
解：设报3的人心里想的数是 ，则报5的人心里想的数应是 ．
于是报7的人心里想的数是，报9的人心里想的数是，报1的人心里想的数是，报3的人心里想的数是 ．所以
，
解得 ．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．已知抛物线 与动直线 有公共点 ， ，
且 .
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.
解：（1）联立 与 ，消去y得二次方程
①
有实数根 ， ，则 ．所以
= ＝ ．②
………………5分
把②式代入方程①得
． ③
………………10分
t的取值应满足
≥0， ④
且使方程③有实数根，即
＝ ≥0， ⑤
解不等式④得 ≤-3或 ≥1，解不等式⑤得≤ ≤ .
所以，t的取值范围为
≤ ≤ . ⑥
………………15分
(2) 由②式知 .
由于 在 ≤ ≤ 时是递增的，所以，当
时, . ………………20分
12．已知正整数 满足 ，且 ，求满足条件的所有可能的正整数 的和．
解：由 可得 ． ，且
．
………………5分
因为 是奇数，所以 等价于 ，又因为 ，所以 等价于 ．因此有 ，于是可得 ．
………………15分
又 ，所以 ．因此，满足条件的所有可能的正整数 的和为
11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分
13．如图，给定锐角三角形ABC， ，AD，BE是它的两条高，过点 作△ABC的外接圆的切线 ，过点D，E分别作 的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．
解法1：结论是 ．下面给出证明． ………………5分
因为 ，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得
．
同理可得．
………………10分
又因为 ，所以有 ，于是可得
． ………………20分
解法2：结论是 ．下面给出证明．
……………… 5分
连接DE，因为 ，所以A，B，D，E四点共圆，故
．………………10分
又l是⊙O的过点C的切线，所以 ． ………………15分
所以， ，于是DE‖FG，故DF＝EG．
………………20分
14．n个正整数 满足如下条件： ；
且 中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．
解：设 中去掉 后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数 ， ．即．
于是，对于任意的1≤ ≤n，都有
，
从而 ．………………5分
由于是正整数，故
． ………………10分
由于
≥ ，
所以， ≤2008，于是n ≤45.
结合 ，所以，n ≤9． ………………15分
另一方面，令 ，…， ，
，则这9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为9. ………………20分
2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1. 设 ，则 （A）
A.24.B. 25. C..D..
2．慧陪空在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（C）
A. .B.. C..D..
3．用 表示不大于 的最大整数，则方程 的解的个数为（C）
A.1.B. 2. C. 3.D. 4.
4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （B）
A. .B.. C..D..
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内乱桥作半圆，自点A作半圆的切线AE，则 CBE＝ （D）
A. .B.. C..D..
6．设 是大于1909的正整数，使得 为完全平方数的 的个数是 （B）
A.3.B. 4. C. 5.D. 6.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知 是实数，若 是关于 的一元二次方程 的两个非负实根，则 的最小值是_____ _______.
2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为 和 ，则四边形DECF的前瞎面积为___ ___.
3．如果实数 满足条件 ， ，则 __ ____.
4．已知 是正整数，且满足 是整数，则这样的有序数对 共有___7__对.
第二试 （A）
一．（本题满分20分）已知二次函数 的图象与 轴的交点分别为A、B，与 轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
（1）证明：⊙P与 轴的另一个交点为定点.
（2）如果AB恰好为⊙P的直径且 ，求 和 的值.
解（1）易求得点 的坐标为 ，设 ， ，则 ， .
设⊙P与 轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则 .
因为 ，所以点 在 轴的负半轴上，从而点D在 轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).
（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点 的坐标为 ，
即 .
又 ，所以
，解得 .
二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高， 、 分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求.
解作 E⊥AB于E， F⊥AB于F.
在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4， .
又CD⊥AB，由射影定理可得 ，故 ，
.
因为 E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以 ＝ .
连接D 、D ，则D 、D 分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠ DC＝∠ DA＝∠ DC＝∠ DB＝45°，故∠ D ＝90°，所以 D⊥ D， .
同理，可求得 ， . 所以＝ .
三．（本题满分25分）已知 为正数，满足如下两个条件：
①
②
证明：以 为三边长可构成一个直角三角形.
证法1将①②两式相乘，得 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ，
所以 或 或 ，即 或 或 .
因此，以 为三边长可构成一个直角三角形.
证法2结合①式，由②式可得 ，
变形，得 ③
又由①式得 ，即 ，
代入③式，得 ，即 .
，
所以 或 或 .
结合①式可得 或 或 .
因此，以 为三边长可构成一个直角三角形.
第二试 （B）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.
二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF‖AB.
解因为BN是∠ABC的平分线，所以 .
又因为CH⊥AB，所以
，
因此 .
又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以 ，因此C、F、H、B四点共圆.
又 ，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.
同理可证，点E在CH的中垂线上.
因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF‖AB.
三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.
第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）已知 为正数，满足如下两个条件：
①
②
是否存在以 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.
解法1将①②两式相乘，得 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ，
所以 或 或 ，即 或 或 .
因此，以 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
解法2结合①式，由②式可得 ，
变形，得 ③
又由①式得 ，即 ，
代入③式，得 ，即 .
，
所以 或 或 .
结合①式可得 或 或 .
因此，以 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
2003年太原市初中数学竞赛题
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填，得零分）
1．若4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则 的值等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
2．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内）.如果所寄一封信的质量为72.5g，那么应付邮费 ( )
(A)2.4元 (B)2.8元 (C)3元 (D)3.2元
3．如下图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）
(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°
4．四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如上图），则x可取值的个数为（ ）
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个
5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的激历空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )
(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．已知 ，那么 .
7．若实数x，y，z满足 ， ， ，则xyz的值为 .
8．观察下列图形：
① ② ③ ④
根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为 .
9．如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照
在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45º，∠A=60º，
CD=4m，BC= m，则电线杆AB的长为_______m.
10．已知二次函数 （其中a是正整数）的图象经 过点A（－1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为 .
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.
解：
12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？
解橘斗：
13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.
（1）当点D在斜边AB内部时，求证： .
（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.
（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式明伍搜是否存在？请说明理由.
14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.
（1）求a，b，c中的最大者的最小值；
（2）求 的最小值.
注：13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题. 13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A和14A两题可留作考试后的研究题.
13A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程 （k是整数）的最大整数根. P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点.若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求 的值.
解：
14A．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式 >0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.
（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有 ≤0？请说明理由.
（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有 ≤0？请说明理由.
解：（1）
（2）
2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案与评分标准
一、选择题（每小题6分，满分30分）
1．D
由 解得 代入即得.
2．D
因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）.
3．C
如图所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°，
而∠BMN +∠FNM =∠D＋180°，所以
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
4．D
显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x.
（1）若AB=9，当CD=x时， ， ；
当CD=5时， ， ；
当CD=1时， ， .
（2）若AB=x，当CD=9时， ， ；
当CD=5时， ， ；
当CD=1时， ， .
故x可取值的个数为6个.
5．B
设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，…，k+（n－1），由题意可知 ，即 .
因为k，n都是正整数，且n≥3，所以n<2k+（n－1），且n与2k+（n－1）的奇偶性不同. 将200分解质因数，可知n=5或n=8. 当n=5时，k=18；当n=8时，k=9. 共有两种不同方案.
6． .
＝ .
7．1.
因为 ，
所以 ，解得 .
从而 ， .
于是 .
8．161.
根据图中①、②、③的规律，可知图④中三角形的个数为
1+4+3×4+ + =1+4+12+36+108=161（个）.
9． .
如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE于F.
因为∠DCF=45°，∠A=60°，CD=4m，
所以CF=DF= m， EF=DFtan60°= （m）.
因为 ，所以 （m）.
10.－4.
由于二次函数的图象过点A（－1，4），点B（2，1），所以
解得
因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，所以 ，
，即 ，由于a是正整数，故 ，
所以 ≥2. 又因为b+c=－3a+2≤－4，且当a=2，b=－3，c=－1时，满足题意，故b+c的最大值为－4.
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.
解：DP=PE. 证明如下：
因为AB是⊙O的直径，BC是切线，
所以AB⊥BC.
由Rt△AEP∽Rt△ABC，得 ① ……（6分）
又AD‖OC，所以∠DAE=∠COB，于是Rt△AED∽Rt△OBC.
故 ② ……（12分）
由①，②得 ED=2EP.
所以 DP=PE. ……（15分）
12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及
通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶
的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用
为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过
程），并求出所需费用最少为多少元？
解：从A城出发到达B城的路线分成如下两类：
（1）从A城出发到达B城，经过O城. 因为从A城到O
城所需最短时间为26小时，从O城到B城所需最短时间
为22小时. 所以，此类路线所需 最短时间为26+22=48（小时）. ……（5分）
（2）从A城出发到达B城，不经过O城. 这时从A城到达B城，必定经过C，D，E城或F，G，H城，所需时间至少为49小时. ……（10分）
综上，从A城到达B城所需的最短时间为48 小时，所走的路线为：
A→F→O→E→B. ……（12分）
所需的费用最少为：
80×48×1.2=4608（元）…（14分）
答：此人从A城到B城最短路线是A→F→O→E→B，所需的费用最少为4608元…（15分）
13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.
（1）当点D在斜边AB内部时，求证： .
（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.
（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.
解：（1）作DE⊥BC，垂足为E. 由勾股定理得
所以 .
因为DE‖AC，所以 .
故 . ……（10分）
（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。
2010年初中数学竞赛初赛试题(北师大版七年级)
考试时间:120分钟 试卷满分：100分
一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入题后的括号内，每小题3分，共24分)
1. 的负倒数是( )
A.|- | B.- C.2D.-2
2.在平面内，四条直线的交点个数不能是( )
A.2个 B.3个C.4个 D.5个
3.计算(a2)3的结果是( )
A.a5 B.a6C.a8D.3a2
4.如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于( )
A.100°B.120° C.130°D.150°
5.一组按规律排列的数为1，3，5，7，9，…，则第100个数是( )
A.51 B.199C.201 D.55
6.在某次国际乒乓球单打比赛中，甲、乙两名中国选手都进入最后决赛，那么下列事件为必然事件的棚宽掘是( )
A.冠军属于中国选手B.冠军属于外国选手
C.冠军属于中国选手甲 D.冠军属于中国选手乙
7.如图，立体图形是由若干个相同的小正方体组成，这个立体图形有小正方体( )
A.9个 B.10个 C.11个D.12个
8.如果△+△=※，○=□+□，△=○+○+○+○，巧尘则※÷□=( )
A.2B.4 C.8D.16
二、填空题(每小题3分，共24分)
9.在数轴上与表示2.5的点的距离最近的整数点所表示的数是____.
10.当-3a2n和a4是同类项时，n=____.
11.手电筒向天空射出的光线可以看做是____.
12.保护水资源，人人有责任，我国是缺水的国家，目前可利用的淡水资源的总量仅仅899000亿米3，用科学记数法表示这个数是____.
13.已知线段AB=7cm，在直线AB上画线段BC=1cm，那么线段AC=____.
14.当x=2时，代数式ax3+bx+1的值为6，则当x=-2时，代数式ax3+bx+1的值是____.
15.已知∠4与∠1互补，∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，∠3=153°，则∠4=____.
16.如果abc≠0，设 ，那么x可能取得的值是____.
三、解答题(12分)
17.结合具体实例进行归纳，然后判断下列的链核对错，认为正确，说明理由；认为不正确，举出反例.
(1)任何数都不能等于它的相反数；
(2)若a比b大，那么a的相反数一定小于b的相反数.
四、解答题(15分)
18.已知关于x的方程kx=4-x的解为正整数，求k所能取的整数值.
五、解答题(15分)
19.一辆汽车从甲地驶往乙地，若以每小时60km的速度行驶，则刚好按预计时间到达，但当车行驶了4小时30分钟后，遇雨路滑，车不能快开，这样将速度减少20km，结果比预计时间晚45分钟到达乙地，求甲、乙两地的距离(要求：设不同的未知数，用三种方法加以解答).
六、解答题(10分)
20.一个长方形，恰好分成如图所示的六个小正方形A、B、C、D、E、F，其中最小的正方形A的面积为1cm2，你能求出这个长方形的面积吗？
以上就是初中数学竞赛试卷的全部内容，2003年太原市初中数学竞赛题 一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、。
