目录垂线段最短的生活现象 高中数学最短路径问题 八年级最短路径问题7种类型 初二最短路径问题专项训练 最短路径12种类型例题
随着课改的深入，数学更贴近于生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。数学中一些关于“平面内联结两点的线中，线段最短”“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路线问题。初中数学中的最短路线问题在平面图形和空间几何中均有应用，特别是空间几何体中的最短路线问题，通常要借助平面展开图、勾股定理等知识点将空间问题转化为平面问题进行求解。下面简单谈一下初中数学中遇到的最短路线问题：
一、最短路线问题常见类空厅型
1.巧用公理：两点之间，线段最短
二、总结
数学来源于生活，又服务于生活，只有把数学知识和实际生活紧密联系，才能发现数学的奥秘。探究最短路线问题，既充满生活中的趣味性，又是对数学思维的挑战。在数学教学中，渗透数学思想往往比单纯教会学生解题更为重要，意义更加重大。本文中渗透了转化、数学建模、数形结合等思想，而主导思想在于转化，将复杂的问题转化为我们熟悉的问题，从而求解。
综观例题精解，对于解决最短路线问题，我有以下几点感悟：
1.最短路线问题的基本原理是：两答隐点之间线段最短，要学会举一反三，触类旁通；
2.学会转化的思想，“化折为直”“化曲为直”斗举隐，将折线、曲线问题归结为直线问题求解；
3.将立体图形展开转化为平面图形，找出最短路径，再构造直角三角形，利用勾股定理来求解；
4.正确将立体图形展开成平面图形，比如：圆柱、长方体、正方体侧面上最短路径问题，要注意垂直剪开，这样展开的侧面才是长方形。
一、十二个基本问题概述
问题一：在直线 l 上求一点 P，使得 PA + PB 值最小 .
初中数学最短路径问题总结
作法：连接 AB，与直线 l 的交点即为 P 点 .
初中数学最短路径问题总结
原理：两点之间线段最短 . PA + PB 最小值为 AB .
问题二：（“将军饮马问题”）在直线 l 上求一点 P，使得 PA + PB 值最小 .
初中数学最短路径问题总结
作法：作点 B 关于直线 l 的对称点 B＇，连接 AB' 与 l 的交点即为点 P．
初中数学最短路径问题总结
原理：两点之间线段最短．PA + PB 最小值为 AB' .
问题三：在直线 l1、l2 上分别求点 M、N，使得 △PMN 的周长最小．
初中数学最短路径问题总结
作法：分别作点 P 关于两条直线的对称点 P' 和 P''，连接 P'P''，与两条直线的交点即为点 M，N．
初中数学最短路径问题总结
原理：两点之间线段最短．PM + MN + PN 的最小值为线段 P'P'' 的长．
问题四：在直线 l1、l2 上分别求点 M、N，使四边形 PQMN 的周长最小．
初中数学最短路径问题总结
作法：分别作点 Q、P 关于直线 l1、l2 的对称点 Q' 和 P' 连接 Q'P'，与两直线交点即为点 M，N.
初中数学最短路径问题总结
原理：两点之间线段最短．四边形 PQMN 周长的最小值为线段 Q'P' + PQ 的长．
问题五：（“造桥选址问题”）直线 m∥n，在 m、n 上分别求点 M、N，使 MN⊥m，
且 AM + MN + BN 的值最小．
初中数学最短路径问题总结
作法：将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A'，伏郑敬连接 A'B，交 n 于点 N，过 N 作 NM⊥m 于 M .
初中数学最短路径问题总结
原理：两点之间线段最短 . AM + MN + BN 的最小值为 A'B + MN .
问题六：在直线 l 上求两点 M , N （M 在左），使 MN = a , 并使 AM + MN + NB 的值最小 .
初中数学最短路径问题总结
作法：将点 A 向右平移 a 个长度单位得 A'，作 A' 关于直线 l 的对称点 A''，连接 A''B 交直线 l 于点 N，
将 N 点向左平移 a 个单位得 M .
初中数学最短路径问题总结
原理：两点之间线段最短 . AM + MN + NB 的最小值为 A''B + MN .
问题七：在 l1 上求点 A，在 l2 上求点 B，使 PA + AB 值最小 .
初中数学最短路径问题总结
作法：作点 P 关于 l1 的对称点 P'，作 P'B⊥l2 于点 B，交 l1 于点 A .
初中数学最短路径问题总结
原理：点到直线，垂线段的距离最短 . PA + AB 的最小值为线段 P'B 的长 .
问题八：A 为 l1上一定点，B 为 l2 上一定点，在 l2 上求点 M，在 l1上求点 N，
使 AM + MN + NB 的值最小 .
初中数学最短路径问题总结
作法：作点 A 关于 l2 的对称点 A'丛雀 , 点 B 关于 l1 的对称点 B'，连接 A'B' 交 l2 于点 M，交 l1 于点 N．
初中数学最短路径问题总结
原理：两点之间线段最短．AM + MN + NB 的最小值为线段 A'B' 的长．
问题九：在直缺慎线 l 上求一点 P，使 | PA - PB | 的值最小．
初中数学最短路径问题总结
作法：连接 AB，作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为 P 点．
初中数学最短路径问题总结
原理：垂直平分上的点到线段两端点的距离相等． | PA - PB | = 0 .
问题十：在直线 l 上求一点 P，使 | PA - PB | 的值最大．
初中数学最短路径问题总结
作法：作直线 AB，与直线 l 的交点即为 P 点．
初中数学最短路径问题总结
原理：三角形任意两边之差小于第三边． | PA - PB | ≤ AB ， | PA - PB | 的最大值 = AB .
问题十一：在直线 l 上求一点 P，使 | PA - PB | 的值最大．
初中数学最短路径问题总结
作法：作点 B 关于直线 l 的对称点 B' 作直线 AB'，与直线 l 的交点即为 P 点．
初中数学最短路径问题总结
原理：三角形任意两边之差小于第三边． | PA - PB | ≤ AB' ， | PA - PB | 的最大值 = AB' .
问题十二：（“费马点”）△ABC 中每一内角都小于 120°，在 △ABC 内求一点 P，
使得 PA + PB + PC 的值最小 .
初中数学最短路径问题总结
作法：所求点为 “费马点” ，即满足 ∠APB = ∠BPC = ∠APC = 120° .
以 AB 、 AC 为边向外作等边 △ABD、△ACE，连接 CD、BE 相交于点 P，点 P 即为所求 .
初中数学最短路径问题总结
原理：两点之间线段最短 . PA + PB + PC 的最小值 = CD .
二、“费马点” —— 到三点距离之和最小的点
费马点的构造方法：
① 所给三点的连线构成三角形（△ABC），并且这个三角形的每个内角都小于 120°；
② 如下图所示：A , B , C 是给定的三点，
初中数学最短路径问题总结
以 AC 为边向外作正三角形得到点 D , 以 BC 为边向外作正三角形得到点 E ,
连接 BD 和 AE 交于点 O，我们断言点 O 就是 “费马点” .
费马点的证明方法：
先证 △AEC ≌ △DBC .
△AEC 绕点 C 顺时针旋转 60°，可得到 △DBC，从而 △AEC ≌ △DBC .
于是 ∠OBC = ∠OEC，所以 O、B、E、C 四点共圆 .
拓展知识：四点共圆判定方法
若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆 .
初中数学最短路径问题总结
所以 ∠BOE = ∠BCE = 60°，∠COE = ∠CBE = 60°，
于是 ∠BOC = ∠BOE + ∠COE = 120°，同理可证 ∠AOC = ∠AOB = 120°，
所以 ∠BOC = ∠AOC = ∠AOB = 120° .
初中数学最短路径问题总结
将 O 点看作是 AE 上的点，随着 △AEC 一起绕点 C 顺时针旋转 60° 得到点 O2 ,
所以 ∠OCO2 = 60°，OC = O2C , OA = O2D ,
所以 △OCO2 是等边三角形，于是有 OO2 = OC .
所以 BD = OA + OB + OC .
最短路径造桥选址问题如下：
初二数学轴对称这一章节中，课题研究中的最短路径问题，是中考的热门考点，在初二的考试中也是经常会出现。
最短路径问题中，初中阶段主要涉及三方面的内容，“将军培侍饮马”、“造桥选址”和“费马点”，涉及到的知识点主要有“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”等，需要同学们根据题目给定的条件，
做出最短路径问题，而这类题目的解题思路就是找对称点实现“折”转“直信团”，这是最为关键的，从而找到最短路径的点，解决出最短路径的问题，
我们先来学习一个比较简单的“将军饮马”类型，最短路径的求解，通过四种题型，详解解释作图配坦吵方法。希望同学们能够认真总结，将这类题目掌握。
以“将军饮马”为原型常见的四种类型的题目分别是：
（1）、A,B两点位于L的同侧，求出直线上一点P，使得PA+PB最小；
（2）、A,B两点位于L的两侧，求出直线上一点P，使得PA+PB最小；
（3）、在两条相交直线L1,L2内一点P，在两条直线上分别求出M,N,使△PMN的周长最小；
（4）、在直线L1、L2上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小。
初中数学中最短路径问题，生动地体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。
两点在直线同侧的最短路径问题
给出一条直线，A、B两点在直线的同侧态卖，要在直线上找到一个点，使这个点到A点和到B点的距离最短。
步骤：
①找到A(或B)关于直线的对称点P
②连接PB(PA)交直线于O，点槐闭做O就是所要找的铅衡点
造桥选址问题
A、B在一条河的两岸，要在河上造一座桥MN，使A到B的路径AMNB最短。
步骤：
①作出河的宽度M′N′
②将M′N′平移，使M′向A点平移，N′向A′点平移，即AA′=M′N′
③连接A′B与河岸b交于N点
④过N点作直线a的垂线，垂足为M 。则MN就是桥的位置.
涉及到两个动点的最短路径问题
给出一个正方形，已知两个定点和两个动点，
要在直线上找到这两个动点，使这四个点所围的四边形周长最小。
步骤：
①找到两个定点关于正方形的边的对称点，
②连接两个对称点，和正方形边的两边有两个交点。
③交点就是动点的位置
例题：
(2015，广西玉林、防城港)如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点(均不与顶点重合)，当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 .
最短路径问题
两点的所有连线中，线段最短
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．
两点的所有连线中，线段最短
如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明)
如图所示，连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．
两点之间线段最短
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运用轴对称解决距离之差最大问题
如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．
如图中弯庆所示，以直线l为对称轴，作闹裂点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′卖握B＜CA－CB.
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