目录高中物理相遇追及问题详解 高中物理追及相遇问题总结 物理相遇问题例题100道 高中物理平抛运动大题 物理高一追及问题难吗
1.追及和相遇问题
当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距会越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题.
2.追及问题的两类情况
(1)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)：
①当两者速度相等时，若两者位移之差仍小于初始时的距离，则永远追不上，此时两者间有最小距离.
②若两者位移之差等于初始时的距离，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者相遇时避免碰撞的临界条件.
③若两者位移之差等于初始时的距离时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个极大值.
(2)速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)：
①当两者速度相等时有最大距离.
②若两者位移之差等于初始时的距离时，则追上.
3.相遇问题的常见情况
(1)同向运动的两物体追及即相遇.
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小和等于开始时两物体的距离时即相遇.
重点难点突破
一、追及和相遇问题的常见情形
1.速度小者追搏举滚速度大者常见基余的几种情况：
类型
图象
说明
匀加速追匀速
①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大
②t＝t0时，两物体相距最远为x0＋Δx
③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小
④能追及且只能相遇一次
注：x0为开始时两物体间的距离
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
2.速度大者追速度小者常见的情形：
类型
图象
说明
匀减速追匀速
开始追及时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
①若Δx＝x0，则恰能追及，两物体只能相遇一答禅次，这也是避免相撞的临界条件
②若Δx ③若Δx>x0，则相遇两次，设t1时刻Δx1＝x0两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇 注：x0是开始时两物体间的距离 匀速追匀加速 匀减速追匀加速 二、追及、相遇问题的求解方法 分析追及与相遇问题大致有两种方法，即数学方法和物理方法，具体为： 方法1：利用临界条件求解.寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离. 方法2：利用函数方程求解.利用不等式求解，思路有二：其一是先求出在任意时刻t两物体间的距离y＝f(t)，若对任何t，均存在y＝f(t)>0，则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t，使得y＝f(t)≤0，则这两个物体可能相遇.其二是设在t时刻两物体相遇，然后根据几何关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，则说明这两个物体可能相遇. 方法3：利用图象求解.若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇；若用速度图象求解，则注意比较速度图线与t轴包围的面积. 方法4：利用相对运动求解.用相对运动的知识求解追及或相遇问题时，要注意将两个物体对地的物理量(速度、加速度和位移)转化为相对的物理量.在追及问题中，常把被追及物体作为参考系，这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为：s相对＝s后－s前＝s0，v相对＝ v后－v前，a相对＝a后－a前，且上式中各物理量(矢量)的符号都应以统一的正方向进行确定. 三、分析追及、相遇问题的思路和应注意的问题 1.解“追及”、“相遇”问题的思路 (1)根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图. (2)根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程.注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中. (3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程. (4)联立方程求解. 2.分析“追及”、“相遇”问题应注意的几点 (1)分析“追及”、“相遇”问题时，一定要抓住“一个条件，两个关系”： “一个条件”是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小、恰好追上或恰好追不上等. “两个关系”是时间关系和位移关系.其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口.因此，在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，因为正确的草图对帮助我们理解题意、启迪思维大有裨益. (2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上该物体前是否停止运动. (3)仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，要满足相应的临界条件. 典例精析 1.运动中的追及和相遇问题 【例1】在一条平直的公路上，乙车以10 m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初速度为15 m/s，加速度大小为0.5 m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使(1)两车不相遇；(2)两车只相遇一次；(3)两车能相遇两次(设两车相遇时互不影响各自的运动). 【解析】设两车速度相等经历的时间为t，则甲车恰能追上乙车时，应有 v甲t－ ＝v乙t＋L 其中t＝ ，解得L＝25 m 若L>25 m，则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大，即两车不相遇. 若L＝25 m，则两车等速时恰好追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大. 若L<25 m，则两车等速时，甲车已运动至乙车前面，以后还能再次相遇，即能相遇两次. 【思维提升】对于追及和相遇问题的处理，要通过两质点的速度进行比较分析，找到隐含条件(即速度相同时，两质点间距离最大或最小)，再结合两个运动的时间关系、位移关系建立相应方程求解. 【拓展1】两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶.t＝0时两车都在同一计时处，此时比赛开始.它们在四次比赛中的v-t图象如图所示.哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上另一辆( AC ) 【解析】由v-t图象的特点可知，图线与t轴所围成面积的大小，即为物体位移的大小.观察4个图象，只有A、C选项中，a、b所围面积的大小有相等的时刻，故A、C正确. 2.追及、相遇问题的求解 【例2】在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件？ 【解析】解法一：(物理分析法)A、B车的运动过程(如图所示)利用位移公式、速度公式求解. 对A车有sA＝v0t＋ ×(－2a)×t2 vA＝v0＋(－2a)×t 对B车有sB＝ at2，vB＝at 两车有s＝sA－sB 追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB 联立以上各式解得v0＝ 故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ 解法二：(极值法)利用判别式求解，由解法一可知sA＝s＋sB，即v0t＋ ×(－2a)×t2＝s＋ at2 整理得3at2－2v0t＋2s＝0 这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(2v0)2－4×3a×2s<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ 解法三：(图象法)利用速度—时间图象求解，先作A、B两车的速度—时间图象，其图象如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v＝v0－2at 对B车有vB＝v＝at 以上两式联立解得t＝ 经t时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离s，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知 s＝ v0•t＝ v0• 所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ 【思维提升】三种解法中，解法一注重对运动过程的分析，抓住两车间距有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次方程，然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过图象不仅将两物体运动情况直观、形象地表示出来，也可以将位移情况显示，从而快速解答. 【拓展2】从地面上以初速度2v0竖直上抛物体A，相隔Δt时间后再以初速度v0竖直上抛物体B.要使A、B在空中相遇，Δt应满足什么条件？ 【解析】A、B两物体都做竖直上抛运动，由s＝v0t－ gt2作出它们的s-t图象，如图所示.显然，两图线的交点表示A、B相遇(sA＝sB). 由图象可看出Δt满足关系式 时，A、B在空中相遇. 易错门诊 3.分析追及、相遇问题的思路 【例3】现检测汽车A的制动性能：以标准速度20 m/s在平直公路上行驶时，制动后40 s停下来.若A在平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方180 m处有一货车B以6 m/s 的速度同向匀速行驶，司机立即制动，能否发生撞车事故？ 【错解】设汽车A制动后40 s的位移为x1，货车B在这段时间内的位移为x2. 据a＝ 得车的加速度a＝－0.5 m/s2 又x1＝v0t＋ at2得 x1＝20×40 m＋ ×(－0.5)×402 m＝400 m x2＝v2t＝6×40 m＝240 m 两车位移差为400 m－240 m＝160 m 因为两车刚开始相距180 m>160 m 所以两车不相撞. 【错因】这是典型的追及问题.关键是要弄清不相撞的条件.汽车A与货车B同速时，两车位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据.当两车同速时，两车位移差大于初始时刻的距离时，两车相撞；小于、等于时，则不相撞.而错解中的判据条件错误导致错解. 【正解】如图，汽车A以v0＝20 m/s的初速度做匀减速直线运动经40 s停下来.据加速度公式可求出a＝－0.5 m/s2.当A车减为与B车同速时，是A车逼近B车距离最多的时刻，这时若能超过B车则相撞，反之则不能相撞. 据v2－ ＝2ax可求出A车减为与B车同速时的位移 x1＝ m＝364 m 此时间t内B车的位移为x2，则t＝ s＝28 s x2＝v2t＝6×28 m＝168 m Δx＝364 m－168 m＝196 m>180 m 所以两车相撞. 【思维提升】分析追及问题应把两物体的位置关系图(如解析中图)画好.通过此图理解物理情景.本题也可以借助图象帮助理解，如图所示，阴影区是A车比B车多通过的最大距离，这段距离若能大于两车初始时刻的距离则两车必相撞.小于、等于则不相撞.从图中也可以看出A车速度成为零时，不是A车比B车多走距离最大的时刻，因此不能作为临界条件分析. 看最型察颤初没腊速度和最终速度，假设是甲追乙 一、最开始，甲的速度大于乙的速度 最终甲的速度低于乙的速度看他们相等时刻的位移差x2和最初的距离差x1，如果x1>x2，就追不上，如果相等则刚好追上然后乙远离，如卜败果x1 最终甲的速度等于乙，看他们相等时刻的位移差x2和最初的距离差x1，x1>x2就追不上，x1<=x2就能追上 最终甲的速度大于乙，一定可以追上 二、最开始甲的速度小于乙的速度 最终甲的速度小于等于乙的速度，肯定追不上 最终甲的速度大于乙的速度，一定可以追上 很容易理解的，可以画速度时间图像，经过常识性的思考就可以考虑出来 两种情况 1速度小的做匀加速直线运动追枝皮速度猛空差（匀速）大的 2速度小的做匀加速直线运动追速度（匀减速直线运动）大的 关键要抓住时间关系和位移关系（画草图亏猛找位移关系） 追及问题。 1.初始速度小者追速度大者： （1）两者速度相同以前，后面物体与前面物体之间的距离逐渐增大。 （2）两者速度相同时，两物体相聚最远为X0+△X。 （3）两者速度相同以后，后面物体与前面物体之间距离逐渐减小。 注意：△X是开始追击以后，前面物体因为速度大而比后面物体多运动的位移。 X0是指开始追击之前两物体之间的距离。 分析：这里指的条件是：速度小者追速度大者，且速度小者的加速度要大于速度大者；最常见的通常情况是一个速度从零开始的A物体以某一恒定的加速度追它前方的一个匀速运动的物体B；而这个追赶的过程中可以分为三个阶段： 第一阶段，A从静止开始加速，B在匀速，但是A的速度还没有达到B的速度（很显然，从静止加速到一定的速度是需要时间的）。这个过程中，由于VA 第二阶段，A的速度恰好等于B的速度（由于A在加速，B在匀速，所以A肯定能达到B的速度，但是注意：A还没有赶上B!） 第三阶段，A的速度增大到大于B的速度，并最终追赶上B，这个过程中二者的距离是在不断缩小的。 2.初始速度大者追速度小者 （1）若△X=X0，则恰能追及，两物体只能相遇一次。 （2）若△X＞X0，则相遇两次 （3）若△X＜X0，则不能追及，此时两物体最小距离是X0-△X。 分析：条件恰恰相反，处在后面的A物体初始速度很大，B物体的速度比A小。显然，如果A不减速，将会撞上B（或者叫追上B）。题目中的假设就是A在减速，这样的结果就可能撞不上。如果我们假设A在做减速，而B一直保持匀速，那么这里有三个阶段： 第一阶段：虽然A在减速，但A的速度还是大于B，由于A在后方追赶B，所以距离不断缩小； 第二阶段：A的速度减小到与B相等 第三阶段：A继续减速，B匀速，所以AB距离越来越大。能不能撞上和撞几次的关键在岁弯洞于最小距离△X出现在哪个阶段， 具体情况就是：在第一阶段的过程中，乎枯距离不断缩小，很可能在第二阶段之前，也就是A的速度与B相等之前，AB就相遇了。即△X等于零了。再往后走的话，△X就等于负了，也就是说A在前面，而B在后面。很明显，B虽然暂时在后面，但B肯定能再次追上A并且反超。所以撞了两次。撞一次和不撞的情况就不赘述了。 一辆轿车A在以速度Va=30m/s行驶过程中，发现正前方61米处有一辆推土机B，B的速度为 5m/s，为避免相撞，A以加速度为5m/s²紧急刹车，而B继续匀速行驶。请问汽车A会不会撞上B？ 一列车正以16m/s的速度在一个很长的坡道上上坡行驶，驾驶员突然发现在同一轨道前方有一车厢以4m/s的速度匀速滑下来，列车司机立即刹车，紧接着加速倒退，刹车与倒退时列车的加速度大小均为2m/s²，结果刚好避免相撞，则驾驶员发现前方有车厢时，两车距离有多远 解法一： 刚好避免相撞的临界条件：列车反向之后向下的速度与车厢的速度相同时，两者恰好相遇。 取沿坡道向下为正方向，列车以初速度vo=-16m/s，a=2m/s²的加速度做匀减速直线运动，末速度vt=4m/s。 列车的位移2ax1=vt²-vo²x1=(vt²-vo²)/2a=(16-16²)/4=-60m 列车运行时间t=(vt-vo)/a=20/2=10s 车厢位移x2=vt=4×10=40m 两车距离L=x2-x1=100m 解法二： 以列车为参考系（即认为列车静止），则车厢的初速度为4+16=20m/s 列车的向下加速度为2m/s²，则相对于列车而言，车厢具有向上的加速度2m/s²， 即相对列车车厢做匀减速直线运动， 相遇时末速度恰好为0. x=v²/2a=100m 即两闹档车相距100m 在追及、碰撞问题中，当两个物体速度相同（即相对速度为零）时，通常伴随着某些物理特征出现。如果我们在解题时，能弄清楚并加以区别“速度相同”时出现的不同特征，各种追、撞总是便很易求解。下面结合具体范例作分类分析。1 两车配颂游速度相同时，相距最远（或最近）的问题例1 一辆汽车以v=30m/s的速度在平直公路上行驶。在它经过公路上的某处a时，a处的一辆摩托车正以5m/s 2的加速度从静止开始与汽车同向起动。问摩托车追上汽车之前何时二者相距最远？最远距离为多少？解析 汽车做匀速直线运动，摩托车做初速度为零的匀加速直线运动。在运动过程中，只要摩托车的速度还小于汽车的速度培销，它们相距就越来越远，两车速度相同时，对应的物理特征是两车相距最远。一旦摩托车速度超过汽车速度，两车距离将逐渐减小……由v=at得：t=va=305s=6s此时两车相距最远，其最远距离为：例2 一辆汽车以20m/s的速度沿直路向东行驶，当它行驶到静止在路边的摩托车西面60m时，摩托车突然开始以4m/s 2的加速度向东驶去。（1）汽车能否追上摩托樱岩车？（2）何时两车距最近？最近距离是多少？解析 汽车在追赶摩托车的过程中，只要摩托车的速度还小于汽车的速度，两车相距就越来越近，一旦摩托车的速度大于汽车的速度，原来已被缩小的距离就会又被拉大，因此两车速度相同时，相距最近。
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