目录高中数学向量公式大全 高中数学向量公式总结 平面向量及其应用公式总结 平面向量基本公式大全 平面向量所有运算公式
设a=(x,y),b=(x',y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x',y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律:
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ>0时,λa与a同方向;
当λ<0时,λa与a反方向;
当λ=0时,λa=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实配首数λ,都有λa=0。
注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律:(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
3、向量的的数量积
定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个枯卖凯数量,记作a•b。若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示:a•b=x•x'+y•y'。
向量的数量积的运算律
a•b=b•a(交换律);
(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);
(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);
向量的数量积的性质
a•a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a•b=0。
|a•b|≤|a|•|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即:(a•b)•c≠a•(b•c);例如:(a•b)^2≠a^2•b^2。
2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a•b=a•c (a≠0),推不出 b=c。
3、|a•b|≠|a|•|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量积
定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。
向量的向量积性质:
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)没唤×c=a×c+b×c.
注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;
② 当且仅当a、b同向时,右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;
② 当且仅当a、b反向时,右边取等号。
定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a•b=0。
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。
向量加法有如下规律:
+
=
+
(交换律);
+(
+c)=(
+
)+c
(结合律);
+0=
+(-
)=0.
1.实或铅数与向量的积:实数
与向量
的积是一个向量。
(1)|
|=|
|•|
|;
(2)
当
>0时,
与
的方向相同;当
<0时,
与
的方向相反;当
=0时,
=0.
(3)若
=(
),则
•
=(
).
两个向量共线的充要条件:
(1)
向量b与非零向量
共线的充要条件是有且仅有一个实数
,使得b=
.
(2)
若
=(
),b=(
)则
‖b
.
平面向量基本定理:
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量
,有且只有一对实数
,
,使得
=
e1+
e2.
2.P分有向线段
所成的比:
设P1、P2是直线
上两个点,点P是
上不同于P1、P2的任意一点,则存在一个实数
使
=
,
叫做点P分有向线段
所成的比。
当点迟搭P在线段
上时,
>0;当点P在线段
或
的延长线上时,
<0;
分点坐标公式:
3.
向量的数量积:
(1).向量的夹角:
(2).两个向量的数量积:
(3).向量的数量积的性质:
(4)
.向量的数量积的运算律:
4.主要思想与方法:
本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特衫旦好别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点。
在数学中,向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量,它可以形象化地表示为带箭头的线段。下面我给大家带来数学必修4向量公式,希望对你有帮助。
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高中数学必修4向量公式
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高中数学学习方法
高中数学必修4向量公式1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x',y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律:
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即汪裂“共同起点,指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
3、向量的的数量积
定义:两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π]。
定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b。若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'。
向量的数量积的运算率
a·b=b·a(交换率);
(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2。
2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c。
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时,λa与a同方向;
当λ<0时,λa与a反方向;
当λ=0时,λa=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
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高中数学必修4目录第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
1.2 任意角的三角函数
1.3 三角函数的诱导公式
1.4 三角函数的图象与性质
1.5 函数y=Asin(ωx ψ)
1.6 三角函数模型的简单应用
本章综合
第二章 平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
2.2 平面向量的线性运算
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.4 平面向量的数量积
2.5 平面向量应用举例
本章综合
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.2 简单的三角恒等变换
本章综合
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高中数学 学习 方法(1)记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,困冲闭以便今后将其补上。
(2)建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。
(3)熟记一些数学规律和数学小结论,使判饥自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
(4)经常对知识结构进行梳理,形成板块结构,实行“整体集装”,如表格化,使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。
(5)阅读数学课外书籍与报刊,参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓展自己的知识面。
(6)及时复习,强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。
(7)学会从多角度、多层次地进行总结归类。如:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等,使所学的知识化、条理化、专题化、网络化。
(8)经常在做题后进行一定的“反思”,思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法,本题的分析方法与解法,在解其它问题时,是否也用到过。
(9)无论是作业还是测验,都应把准确性放在第一位,通法放在第一位,而不是一味地去追求速度或技巧,这是学好数学的重要问题。
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定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b。若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣。向量的数量积的坐标表示:a•b=x•x'+y•y'。向量的数量积的运算律a•b=b•a(交换律);
(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);向量的数量积的性质a•a=|a|的平方。a⊥b 〈=〉a•b=0。|a•b|≤|a|•|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律,即:(a•b)•c≠a•(b•c);例如:(a•b)^2≠a^2•b^2。2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a•b=a•c (a≠0),推不出 b=c。3、|a•b|≠|a|•|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。
2、向量的向量积
定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。向量的向量积性质:
∣a×b∣是以a和b为边氏宏的平行四边形面积。a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。向量的向量积运算律a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.
注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。
3、向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;② 当且仅当a、b同向时,右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;② 当且仅当a、b反向时,右边取等号。
4、定比分点 定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
5、三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式
在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心向量共线的重要条件
若b≠0,则a//b的棚局重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。歼和册a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。零向量0平行于任何向量。向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a•b=0。a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。零向量0垂直于任何向量.
设a=(x,y),b=(x',y').
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.
AB+BC=AC.
a+b=(x+x',y+y').
a+0=0+a=a.
向量加法的运算律:
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0
AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
3、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.
当λ>0时,λa与a同方向;
当λ<0时,λa与a反方向;
当λ=0时,λa=0,方向任意.
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.
注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.
当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为纯李腊原来的∣λ∣倍.
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).
向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律:
① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.
② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.
4、向量的的数量积
定义:两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π]
定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b·cos〈a,b〉;若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.
向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'.
向量的数量积的运算率
a·b=b·a(交换率);
(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方.
a⊥b 〈=〉a·b=0.
|a·b|≤|a|·|b|.
向量的数量积与实数运算的主要不扰尘同点
1)向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2.
2)向量的数量积不满足消去律,即:由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.
3)|a·b|≠|a|·|b|
4)由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b
4、向量的向量积
定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是:
∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.
向量的向量积性质:
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.
a×a=0.
a∥b〈=〉a×b=0.
向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.
扩展资料:
向量的记法:印刷体记作粗体的字母(如a、b、u、v),书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 如果给定向量的起点(A)和终点(B),可将向量记作AB(并于顶上加→)。在空间直角坐标系中,也能把向量以数对形式表示,例如Oxy平面中(2,3)是一向量。
在物理学和工程学中,几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量,比如一个物体的位移,球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量,即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系,例如向量势对应于物理中的势能。
一般印刷用黑体的小写英文字母(a、b、c等)来表示,手写用在a、b、c等字母上加一箭头(→)表示,如,也可以用大写字母AB、CD上加一箭头(→)等表示,如。
研究向量空间一般会涉及一些额外结构。额外结构如下:
1 一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。
2 一个实数或复数向量空间加上长度和角度的做滑概念,称为内积空间。
3 一个向量空间加上拓扑学符合运算的(加法及标量乘法是连续映射)称为拓扑向量空间。
4 一个向量空间加上双线性算子(定义为向量乘法)是个域代数。
概念:
1 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,以A为起点,B为终点的有向线段记作或AB;
2 向量的模:有向线段AB的长度叫做向量的模,记作|AB|;
3 零向量:长度等于0的向量叫做零向量,记作或0。(注意粗体格式,实数“0”和向量“0”是有区别的,书写时要在向量“0”上加箭头,以免混淆);
4 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;
5 平行向量(共线向量):两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量,零向量与任意向量平行,即0//a;
6 单位向量:模等于1个单位长度的向量叫做单位向量,通常用e表示,平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。
7 相反向量:与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。
平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量,物理学中也称作矢量,与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示,也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
向量的模的运算没有专门的法则,一般都是通过余弦定理计算两个向量的和、差的模。多个向量的合成用正交分解法,如果要求模一般需要先算出合成后的向量。模是绝对值在二维和三维空间的推广,可以认为就是向量的长度。推广到高维空间中称为范数。
向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛,通常应用于物理学光学和计算机图形学中。
参考资料:-向量