数学分析新讲？《数学分析新讲》由张筑生所著，我虽未全读，却对其质量有深刻体会。书中内容丰富，展现出了严谨与创新并重的风格。两处细节给我留下了深刻印象。首先，代数基本定理的证明仅运用了“紧集上连续函数可以取到最值”这一非初等结论，展示了分析工具的巧妙与强大。这样的证明方式，不仅简洁明了，那么，数学分析新讲？一起来了解一下吧。
《数学分析新讲》由张筑生所著，我虽未全读，却对其质量有深刻体会。书中内容丰富，展现出了严谨与创新并重的风格。两处细节给我留下了深刻印象。
首先，代数基本定理的证明仅运用了“紧集上连续函数可以取到最值”这一非初等结论，展示了分析工具的巧妙与强大。这样的证明方式，不仅简洁明了，也揭示了数学理论间的内在联系，使我对分析学有了更深入的理解。
其次，在讲解隐函数定理时，作者引入了微分同胚的概念，以高度概括的视角将定理的条件与结论清晰阐述，这种高屋建瓴的思维方式，使我对定理有了更深刻的认识。
一本好教材，应具备清晰的动机和目的，帮助学生明确知识的应用方向；内容组织条理清晰，易于理解和记忆；同时，教材应适当留白，鼓励学生独立思考和解决问题。然而，《数学分析新讲》的一大遗憾在于，张老未能在本书中编入习题，这限制了学生通过实践深化理解的机会。
尽管如此，《数学分析新讲》仍是一部值得推荐的教材。若能与谢惠民、于品等其他习题集配合使用，效果将更为显著。对于更多推荐的教材，读者可参考我的回答，我将结合个人经历，持续更新相关推荐。
8.3.2凸函数
本章节首先介绍凸函数的概念，包括其定义与等价形式，以及与凹函数的对比。
凸函数定义：如果对于任意两点x1与x2，函数f在区间[x1,x2]上满足f(tx1+(1-t)x2)>=tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f为凸函数。
等价定义：在凸函数的定义中，我们可以用凸集的性质来表示，即对于任意点x1与x2，如果存在λ在区间[0,1]内，使得λx1+(1-λ)x2在凸集内，则有f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2)。
通过推导可以得出，凸函数具有连续的一阶导数且一阶导数在区间内为增函数。
8.3.3利用导数判别凹凸与拐点
通过导数来判断函数的凹凸性与拐点。对于连续且可导的函数f(x)，在某区间内，如果f'(x)单调递增，则f(x)为凸函数，反之为凹函数。
定理：若函数f(x)在某区间连续且可导，若f''(x)>0，则f(x)为凸函数；若f''(x)<0，则f(x)为凹函数；若f''(x)=0且f'''(x)≠0，则该点为拐点。
8.3.4总结
总结本章节内容：凸函数的定义与等价形式、凸函数的导数性质、利用导数判断函数凹凸性与拐点。
9.3.0前言
探讨变上限积分概念以及对牛顿-莱布尼兹公式深入解析。曲率和曲率半径的概念也将被提及。
9.3.1变上限积分与牛顿-莱布尼兹公式再讨论
深入探讨定理与引理，结合积分中值定理揭示变上限积分性质。强调连续性条件对于原函数的影响，指出变下限积分符号差异，以及复合变上下限函数的重要性。通过具体案例剖析牛顿可积与黎曼可积的区别与联系，强调二者并非等同，指出牛顿可积与黎曼可积的条件与应用。
9.3.2曲率与曲率半径
直观介绍曲率和曲率半径的概念，强调其在描述曲线弯曲程度上的作用。通过公式解释曲率计算方法及其与转动角的关系，引入弧长公式并探讨其与曲率半径的联系。针对不同坐标系，给出直角坐标系下曲率半径的计算公式，并提出对推导条件的进一步思考。
9.3.3总结
总结变上限积分与牛顿-莱布尼兹公式的关键点，强调连续性在原函数中的角色，以及其在变上限积分中的应用。对于曲率与曲率半径，强调其在几何分析中的重要性，并提出对推导条件的深入思考。
9.3.4参考
【数学分析新讲笔记】2.3章节主要讲解了收敛原理的几个关键定理和概念。首先，Bolzano-Weierstrass（BW）定理，即单调收敛原理，指出一个单调递增且有上界的数列必定收敛于其上确界。证明过程中，通过确界原理和数列的单调性来推导出序列的收敛性。此外，闭区间套原理强调了如果数列在闭区间内满足单调性和有界性，会确保收敛于一个特定值。而BW定理进一步说明，任何有界的序列都存在至少一个收敛的子序列。柯西收敛原理是充分必要条件，它表明一个序列既是柯西序列又是收敛序列，其证明往往涉及基本序列的有界性和BW定理的运用。总结来说，这些原理帮助我们理解和证明数列的收敛性，以及它们之间的相互关系。
2.3.1 单调收敛原理：若数列单调递增且有上界，则该数列收敛于其上确界。
2.3.2 闭区间套原理：确保闭区间内的单调有界数列收敛于该区间的共同极限。
2.3.3 BW定理：有界序列必然存在收敛子序列，证明中结合了闭区间套和夹逼原理。
2.3.4 柯西收敛原理：既是充分条件又是必要条件，证明时需依赖BW定理与构造技巧。
通过以上原理，我们能够深入理解数列收敛的多个途径，以及它们在证明过程中的关键作用。
实数连续性与确界原理
实数连续性是数学分析中核心概念之一。在本章节，我们将围绕实数连续性进行深入探讨，包括实数的无尽小数表示、顺序、稠密性以及连续性的定义与描述方法。
实数连续性定义了实数集的稠密性和有序性质。首先，我们定义无尽小数，并通过等同关系和规范小数概念消除漏洞。实数定义为通过等同关系合并的非规范小数集合。随后，我们定义实数的顺序，通过逐位数字比较实现。实数的顺序关系满足三歧性和传递性。
实数系中的稠密性意味着任意两个实数之间均存在有尽小数。有尽小数的稠密性通过定理得以证明，表明无论区间大小，总能找到有尽小数位于其中。
实数连续性的描述方法之一是确界原理，涉及上、下确界的定义。上界和下界的概念引入了有界集的概念。上确界和下确界则定义了集合的边界，满足特定条件。确界原理表明，实数集中的非空且有上界的子集必有上确界，同理，非空且有下界的子集必有下确界。
实数连续性的探讨不仅限于基础定义与概念，还包括了实数集的有序与稠密性，以及确界原理的引入。通过深入理解实数连续性，我们能够更系统地掌握数学分析的基础理论。
以上就是数学分析新讲的全部内容，凸函数定义：如果对于任意两点x1与x2，函数f在区间[x1,x2]上满足f(tx1+(1-t)x2)>=tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f为凸函数。等价定义：在凸函数的定义中，我们可以用凸集的性质来表示，即对于任意点x1与x2，如果存在λ在区间[0,1]内，使得λx1+(1-λ)x2在凸集内，内容来源于互联网，信息真伪需自行辨别。如有侵权请联系删除。
