目录第二数学归纳法典型例题 数学归纳法为什么是对的 数学归纳法的证明过程 三大数学归纳法 第一归纳法和第二归纳法区别
数学归纳法就是在一个已知n=k满足条件,证明n=k+l也满足条件。
求前n个正整数平方和：
已经知道公式n(n+1)(2n+1)/6
1）当n=1时，结论成立。
2）假设n=k(k是正整数，且中蚂k不小于1），1^2+2^2+……k^2=k(k+1)(2k+1)/6
那卖孙埋么1^2+2^2……k^2+(k+1)^2=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
证明(k+1)^2=(k+1)(k+2)(2k+3)/6-k(k+1)(2k+1)/6
剩下的，就由你自己来做吧，我只给凯凳你指明方向。
数学归纳法的过程分为两租镇部分：
（1）先证明n=1时命题成立,在实际操作中,把n=1代进去就行了,就像要你证明“当n+1时1+n=2成立”
（2）假设n=k时命题成立,证明n=k+1时命题成立
你可以这样理第一部分证明n=1成立.绝大部分命题,n取任意非零自然数都成立,既然这样,先兆宽证最基本的n=1吧.
第二部分,既然当n=k成立时,n=k+1成立,那么,n=1已经证明成立了,n=1+1,也就是n=2时也会成立.n=2成立,按照惯例n=2+1,也就是n=3成立.按照惯例,n=3+1,n=4+1……都会成立,所以所有的自然数都能使命题成立.
你可以把第一弊猜粗部分当作一个坚实的基础,既然n取任意自然数成立（大部分命题是如此）,那么n=1成立是理所当然的.第二部分是一个骨牌的过程,1证明2,2证明3,3证明4……证明所有非0自然数.
数学租尺归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是著名的结构归纳法。
已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年)。Maurolico 证明了前 n 个奇数的总和是 n^2。
最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成，这种方法是由下面两步组成:
递推的基础: 证明当n = 1时表达脊缓式成立。
递推的依据: 证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立。(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设。 不要把整个第二步称为归纳假设。)
这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两樱型模步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。或许想成多米诺效应更容易理解一些；如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：
第一张骨牌将要倒下。
只要某一个骨牌倒了,与他相临的下一个骨牌也要倒。
那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。
数学归纳法的原理作为自然数公理，通常是被规定了的(参见皮亚诺公理第五条)。但是它可以用一些逻辑方法证明；比如，如果下面的公理：
自然数集是有序的
被使用。
注意到有些其他的公理确实的是数学归纳法原理中的二者择一的公式化。更确切地说，两个都是等价的。
从严格的数学角度来说，数学归纳法是一个严格的数学定理，注意不是公理。它是可以在集合论的一系列公理下被证明的。证明如下：
数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中：
第一步：验证n取第一个自然数时成立。
第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。
最后一步总结表述。
需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：
证明1：所有的马都是一种颜色。
首先，第一步，这个命题对n=1时成立，即，只有1匹马亮岩谨时，马的颜色只有一种。
第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。那么当我们有n+1匹马时，不妨把它们编好号：
1, 2, 3……n, n+1。
对其中（1、2……n）这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色。
对（2、3……敬基n、n+1）这些马，我们也可以得到它们是一种颜色。
由于这两组中都有（2、3、……n）这些马，所以可以得到，这n+1种马都是同一种颜色。
这个证明的错误来于推理的第二步：当n=1时，n+1=2，此时马的编号只有1、2，那么分的两组是（1）和（2）——它们没有交集，所以第二步的推论是错误的。数学归纳法第二步要求n→n+1过程对n=1，2，3……的数都成立。
而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块和第二块之间间隔太大，推倒了第一块，但它不会推倒第二块。即使我们知道第二块倒下会推倒第三块枣亮等等，但这个过程早已在第一和第二块之间就中断了。
合理性
数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。数学归纳法原理可以由下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：
自然数集是良序的。（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）。
比如{1, 2, 3 , 4, 5}这个正整数集合中有最小的数——1。
下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法：
对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于所有的正整数都成立。
对于那些不成立的数所构成的集合S，其中必定有一个最小的元素k。（1是不属于集合S的，所以k>1）。
k已经是集合S中的最小元素了，所以k-1是不属于S，这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立，那么也对k也应该成立，这与我们完成的第二步骤矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。
注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。
以上内容参考-数学归纳法
1、(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
2、(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立。
这种方法的原理颂芹在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出山姿来。
扩展资料
1、归纳可分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法是前提包含该类对象的全体，从而对该类对象作出一般性结论的方法。
2、归纳和野唯毕演绎反映了人们认识事物两条方向相反的思维途径，前者是从个别到一般的思维运动，后者是从一般到个别的思维运动。
3、归纳推理是从认识研究个别事物到总结、概括一般性规律的推断过程。在进行归纳和概括的时候，解释者不单纯运用归纳推理，同时也运用演绎法。
