高中数学竞赛试题，高一奥林匹克数学竞赛真题

高中数学竞赛试题？一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数 在 上的最小值是 （ C ）A．0 B．1 C．2 D．3 [解] 当 时， ，因此 ，当且仅当 时上式取等号．而此方程有解 ，那么，高中数学竞赛试题？一起来了解一下吧。

高中数学竞赛预赛试题

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数学竞赛模拟试题范文

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．函数 在 上的最小值是 （ C ）

A．0 B．1C．2 D．3

[解] 当 时， ，因此

，当且仅当 时上式取等号．而此方程有解 ，因此 在 上的最小值为2．

2．设 ， ，若 ，则实数 的取值范围为 （ D ）

A． B． C．D．

[解] 因 有两个实根

， ，

故 等价于 且 ，即

且 ，

解之得 ．

3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的期望 为（ B ）

A. B. C.D.

[解法一] 依题意知， 的所有可能值为2，4，6.

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为

．

若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有

，

，

，

故 ．

[解法二] 依题意知， 的所有可能值为2，4，6.

令 表示甲在第 局比赛中获胜，则 表示乙在第 局比赛中获胜．

由独立性与互不相容性得

，

，

，

故 ．

4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为（ A ）

A. 764 cm3或586 cm3B. 764 cm3

C. 586 cm3或564 cm3D. 586 cm3

[解] 设这三个正方体的棱长分别为 ，则有 ， ，不妨设 ，从而 ， ．故 ． 只能取9，8，7，6．

若 ，则 ，易知 ， ，得一组解 ．

若 ，则 ， ．但 ， ，从而 或5．若 ，则 无解，若 ，则 无解．此时无解．

若 ，则 ，有唯一解 ， ．

若 ，则 ，此时 ， ．故 ，但 ，故 ，此时 无解．

综上，共有两组解 或

体积为 cm3或 cm3．

5．方程组 的有理数解 的个数为（ B ）

A.1 B.2 C.3 D.4

[解] 若 ，则 解得 或

若 ，则由 得 ． ①

由 得 ． ②

将②代入 得 ． ③

由①得 ，代入③化简得 .

易知 无有理数根，故 ，由①得 ，由②得 ，与 矛盾，故该方程组共有两组有理数解 或

6．设 的内角 所对的边 成等比数列，则 的取值范围是

（ C ）

A. B.

C.D.

[解] 设 的公比为 ，则 ，而

．

因此，只需求 的取值范围．

因 成等比数列，最大边只能是 或 ，因此 要构成三角形的三边，必需且只需 且 ．即有不等式组

即

解得

从而 ，因此所求的取值范围是 ．

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7．设 ，其中 为实数， ， ， ，若 ，则 5 .

[解] 由题意知

，

由 得 ， ，因此 ， ， ．

8．设 的最小值为 ，则．

[解]

，

(1)时， 当 时取最小值 ；

(2)时， 当 时取最小值1；

(3)时， 当 时取最小值 ．

又 或 时， 的最小值不能为 ，

故 ，解得 ， (舍去)．

9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222种．

[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用 表示名额．如

表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．

若把每个“ ”与每个“ ”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于 个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．

“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“ ”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有 种．

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．

综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．

[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为 ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程

．

的正整数解的个数，即方程 的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：

．

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．

综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．

10．设数列 的前 项和 满足： ， ，则通项 = ．

[解]，

即2

= ，

由此得 2 ．

令 ，( )，

有 ，故 ，所以 ．

11．设 是定义在 上的函数，若，且对任意 ，满足

， ，则 = ．

[解法一] 由题设条件知

，

因此有 ，故

．

[解法二] 令 ，则

，

，

即 ，

故 ，

得 是周期为2的周期函数，

所以 ．

12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ．

[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为 ，作平面 //平面 ，与小球相切于点 ，则小球球心 为正四面体 的中心， ，垂足 为 的中心．

因

，

故 ，从而 ．

记此时小球与面 的切点为 ，连接 ，则

．

考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 )相切时的情况，易知小球在面 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为 ，如答12图2．记正四面体

的棱长为 ，过 作 于 ．

因 ，有 ，故小三角形的边长 ．

小球与面 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）

．

又 ， ，所以

．

由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 ．

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13．已知函数 的图像与直线 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为 ，求证：

．

[证] 的图象与直线 的三个交点如答13图所示，且在 内相切，其切点为 ， ．

…5分

由于 ， ，所以 ，即 ． …10分

因此

…15分

． …20分

14．解不等式

．

[解法一] 由 ，且 在 上为增函数，故原不等式等价于

．

即．…5分

分组分解

，

， …10分

所以，

． …15分

所以 ，即 或 ．

故原不等式解集为 ．…20分

[解法二] 由 ，且 在 上为增函数，故原不等式等价于

．…5分

即

，

，…10分

令 ，则不等式为

，

显然 在 上为增函数，由此上面不等式等价于

， …15分

即 ，解得( 舍去)，

故原不等式解集为 ．…20分

15．如题15图， 是抛物线 上的动点，点 在 轴上，圆 内切于 ，求 面积的最小值．

[解] 设 ，不妨设 ．

直线 的方程: ，

化简得．

又圆心 到 的距离为1，

， …5分

故 ，

易知 ，上式化简得 ，

同理有 ． …10分

所以 ， ，则

．

因 是抛物线上的点，有 ，则

， ． …15分

所以

．

当 时，上式取等号，此时 ．

因此 的最小值为8．

2023年高中数学竞赛试题

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1、命题“对任意的 ”的否定是 (C)

A 不存在 B 存在

C 存在 D 对任意的

2、 的定义域为 ， 值域为 则区间 的长度 的最小值为(B)

A．3B． C．2D．

3、、等差数列 的通项公式是 ，其前 项和为 ，则数列 的前10项和为（ A）

A．75 B．70C．120 D．100

4、已知A，B，C是平面上不共线上三点，O为 外心，动点P满足

,则P的轨迹定过 的（ D）

A 内心B 垂心C 重心 DAB边的中点

5、若 是偶函数，则点( )的轨迹方程( B )

6、定义在 上的偶函数 ，满足 ，且 在 上是减函数．下面五个关于 的命题中，命题正确的个数有( C )

① 是周期函数；② 的图像关于 对称；③ 在 上是减函数；

④ 在 上为增函数；⑤ ．

（A）2个（B）3个 （C）4个（D）5个

二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共5分）

7、已知集合A={—1，3，m}，B={3，4}，若B A，则实数m的值是 4 ．

8、在三角形ABC中，若 ，则该三角形的最大内角等于 .

9、已知关于 的函数 .如果 时,其图象恒在 轴的上方,则 的取值范围是 .

10、△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设向量 ，若 则角C的大小为

11、若 为的各位数字之和，如 ， ，则 ；记 ， ，…， ， ，则 11 .

12、若数列{an}的通项公式an＝ ，记 ，试通过计算 ， ， 的值，推测出 ＝ ．

13、对于函数 ，在使 ≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值称为函数 的“上确界”，则函数 的“上确界”为 2 .

14、函数 在区间 上与直线 只有一个公共点，且截直线 所得的弦长为 ，则满足条件的一组参数 和 的值可以是 .

15、函数的图象和函数 的图象的交点个数为 3 .

16、某校对文明班的评选设计了 五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样 来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出 ，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 c ．（填入 中的某个字母）

三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17（本题满分12分）设命题 函数 是 上的减函数，命题 函数在 的值域为 ．若“ 且 ”为假命题，“ 或 ”为真命题，求 的取值范围.

解：由 得 ………………………………………………3分

，在 上的值域为 得 …………… 7分

且 为假， 或 为真 得 、 中一真一假．

若 真 假得， ……………………………9分

若 假 真得， ．………………………………………………11分

综上， 或 ．………………………………………………12分.

18（本小题满分12分）在 中，已知内角 ，边 .设内角 ,面积为 .

(1) 求函数 的解析式和定义域；

(2) 求 的最大值.

解：（1） 的内角和

………………………1分

……………4分

…………………6分

（2）……………8分

…………11分

当 即 时，y取得最大值 ………………………12分

19（本小题满分13分）已知函数 的定义域为 ，值域为[5,4]；函数.

(Ⅰ) 求函数g(x)的最小正周期和最大值;

(Ⅱ) 当 , 且g(x) =5时, 求tan x.

解：f(x)=a(1－cos2x)－ sin2x＋b

=－a(cos2x＋ sin2x)＋a＋b=－2a sin(2x＋ )＋a＋b . ----------------------------2分

∵x∈ ，∴2x＋ ，sin(2x＋ ) . 显然a=0不合题意.--------3分

(1) 当a＞0时,值域为 ,即 -----------------------------5分

(2) 当a＜0时,值域为 ,即6分

(Ⅰ) 当a＞0时，g(x)=3sinx4cosx=5sin(x1),∴T=2, g(x)max=5;

当a＜0时，g(x)= 3sinx2cosx= sin(x2),

∴ T=, g(x)max= . 8分

(Ⅱ)由上可知，

当a＞0时, 由g(x)=5sin(x1)，且tan1= , g(x)max=5，此时x1＝2k + (k∈Z).

则x=2k + 1(k∈Z), x∈(0, )，∴tanx=cot 1＝ . 10分

当a<0时,g(x)max= <5，所以不存在符合题意的x.12分

综上，tan x=－ . ------------------------------------------------------------------------------------13分

20（本题满分13分）已知向量m =(1,1),向量n 与向量m 的夹角为 ，且m•n．

（1）求向量n；

（2）若向量n与向量a = (1,0) 的夹角为 ，向量b =（ ），其中A，C是△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求｜n+ b｜的取值范围．

（1）解：设 ，由 ，得 ----------------------------------------2分

∵向量 与向量 的夹角为 ，

又∵∴ ，则 ---------------------4分

解得 或 ∴ 或 ----------6分

（2）解：由向量 与向量 的夹角为 ，可知

由2B=A+C知B= ，A+C= ，0＜A＜ --------------------8分

若 ，则

--------------------10分

∵0＜A＜ ， ＜2A＜

∴ ， ， ----------------12分

∴ ----------------13分

21（本题满分15分）某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值．假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：① 与 和 的乘积成正比；②当 ， ；③ 其中 为常数，且 ．

(1)设 ，求出 的表达式，并求出 的定义域；

(2)求出附加值 的最大值，并求出此时的技术改造投入的 的值

解：(1)设 ．

由 ， ，得：k=4．

于是， ．---- ------3分

解关于x的不等式： ，得0≤x≤ ．---- ------5分

∴函数的定义域为 ， 为常数， ．---- ------7分

(2)．

当 ；---- ------9分

当 上为增函数，故当 ．---- ------11分

故 时，投入 时，附加值 最大为 万元；---- ------13分

当 时，投入 时，附加值 最大为 万元---- ------15分

22（本题满分15分）设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）

（Ⅰ）求f（0），判断并证明函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）数列{an}满足a1=f（0），且

①求{an}通项公式。

高一奥林匹克数学竞赛真题

1+2+3+……—+8=36

也就是说，元素之和最大值为36

在1与36之间，是3的倍数而不是5的倍数的数为：3，6，9，12，18，21，24，27，33，36

3=1+2=3；

2个

6=1+2+3=2+4=1+5=6；

4个

9=1+8=2+7=3+6=4+5=1+2+6=1+3+5=2+3+4

；

7个

12=……

就这样自己慢慢去算

这是个笨方法

高中数学免费题库

只做出第一题，不知对不对,希望能帮上忙:化间后f(x)=4/(3x)，这样可得a(n+1)=4/(3an)，an=4/(3a(n-1));两式想除，可得a(n+1)=a(n-1)，这样就可得到通项an=3(n为奇),4/9(n为偶)

以上就是高中数学竞赛试题的全部内容，1、命题“对任意的 ”的否定是 ( C )A 不存在 B 存在 C 存在 D 对任意的 2、 的定义域为 ， 值域为 则区间 的长度 的最小值为( B )A．3 B． C．2 D．3、、。